置換多面体およびその正軸体版はどのような面（胞）構成になっているのであろうか？ 目標はあくまでｆ2〜ｆn-1であるが，今回のコラムでは置換多面体のｆ2公式に限定することにしたい．
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【１】置換多面体の逐次構造
［１］切頂八面体の正四面体の４頂点に配置された４枚の正六角形の頂点同士，辺同士を結ぶことを考える．４枚の正六角形の辺数の合計は２４．このとき，新たにできる辺は正方形面の側面にある２辺×６＝１２だけである．したがって，切頂八面体の辺数は合計３６本である．
また，２辺を結ぶと面ができるから，単純に考えると新たにできる面数は１２となるはずである．しかし，このうち正四面体の面に配置された４カ所は共面となるので，４枚の正六角形ができる．また，正四面体の辺に配置された６カ所には６枚の正方形ができるので，４＋６＋４＝１４面体となるわけである．
［２］正六角形は３次元立方体の２次元へのアフィン射影であるが，４次元立方体の３次元へのアフィン射影は正六角柱（あるいは菱形１２面体）となる．
４次元置換多面体では，正５胞体の５頂点に切頂八面体が配置されているが，５個の切頂八面体の辺数の合計は３６本×５＝１８０である．このとき，新たにできる辺は六角柱の側面にある６本×１０＝６０であるから，５個の切頂八面体の辺数を加えて合計２４０本となる．
また，５個の切頂八面体の面数の合計は１４面×５＝７０である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は７０／２＝９０となるが，このうち正５胞体の胞に配置された５カ所は切頂八面体（共面）となるので，新たに４枚の正六角形ができる．また，正５胞体の辺に配置された１０カ所には新たに六角柱の側面（６面）×１０＝６０枚の正方形ができるので，合計７０＋２０＋６０＝１５０面となる．
正５胞体の胞に配置されたところには５個の切頂八面体ができる．また，正５胞体の辺と面に配置されたところにはそれぞれ１０個の六角柱ができるので，５＋１０＋１０＋５＝３０胞体となるわけである．
［３］５次元置換多面体では，正６胞体の６頂点に４次元置換多面体が配置されているが，６個の４次元置換多面体の辺数の合計は２４０本×６＝１４４０である．このとき，新たにできる辺は切頂八面体柱の側面にある２４本×１５＝３６０であるから，６個の４次元置換多面体の辺数を加えて合計１８００本となる．
また，６個の４次元置換多面体の面数の合計は１５０面×６＝９００である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は１４４０／２＝７２０となるが，このうち正６胞体の胞に配置された６カ所は４次元置換多面体（共面）となるので，新たに２０枚の正六角形ができる．また，正６胞体の辺に配置された１５カ所には新たに切頂八面体柱の側面（３６面）×１５＝５４０枚の正方形ができるので，合計９００＋１２０＋５４０＝１５６０面となる．
正６胞体の胞に配置されたところには６個の４次元置換多面体ができる．また，正６胞体の辺と面と３次元面に配置されたところにはそれぞれ新たな胞ができるので，６＋１５＋３０＋１５＋６＝６２胞体となるわけである．
［４］６次元置換多面体では，正７胞体の７頂点に５次元置換多面体が配置されているが，７個の５次元置換多面体の辺数の合計は１８００本×７＝１２６００である．このとき，新たにできる辺は４次元置換多面体柱の側面にある１２０本×２１＝２５２０であるから，７個の５次元置換多面体の辺数を加えて合計１５１２０本となる．
また，７個の５次元置換多面体の面数の合計は１５６０面×７＝１０９２０である．このとき，単純に考えると新たにできる面数は１０９２０／２＝５４６０となるが，このうち正７胞体の胞に配置された７カ所は５次元置換多面体（共面）となるので，新たに１２０枚の正六角形ができる．また，正７胞体の辺に配置された２１カ所には新たに４次元置換多面体柱の側面（２４０面）×２１＝５０４０枚の正方形ができるので，合計１０９２０＋８４０＋５０４０＝１６８００面となる．
正７胞体の胞に配置されたところには７個の５次元置換多面体ができる．また，正７胞体の辺と面と３次元面と４次元面に配置されたところにはそれぞれ新たな胞ができるので，７＋２１＋３５＋３５＋２１＋７＝１２６胞体となるわけである．
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【２】置換多面体のｆ1，ｆ2公式 （ｎ≧４）
ｆ1^(n)＝n+1Ｃ1ｆ1^(n-1)＋n+1Ｃ2ｆ0^(n-2)
＝（ｎ＋１）ｆ1^(n-1)＋ｎ（ｎ＋１）／２・ｆ0^(n-2)
ｆ2^(n)＝n+1Ｃ1ｆ2^(n-1)＋n+1Ｃ2ｆ1^(n-2)＋（ｎ＋１）！／６
＝（ｎ＋１）ｆ2^(n-1)＋ｎ（ｎ＋１）／２・ｆ1^(n-2)＋ｆ0^(n)／３！
これらの組み合わせ論的な意味は上に述べたとおりである．
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