置換多面体およびその正軸体版はどのような面（胞）構成になっているのであろうか？　直接計算することが難しい場合であっても，漸化式が求められればそれに越したことはない．

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【１】置換多面体の逐次構造

　切頂八面体（３次元置換多面体）を考えると，正四面体の４頂点と４面に正六角形（２次元置換多面体），６辺に正方形が配置されている．４次元置換多面体では，正５胞体の５頂点と５胞に切頂八面体（３次元置換多面体），１０辺と１０面に六角柱が配置されている．すなわち，３次元置換多面体である切頂八面体は８枚の六角形と６枚の正方形からなるが，４枚の六角形＋６枚の正方形＋４枚の六角形と考えることができる．同様に，４次元置換多面体は１０個の切頂八面体と２０個の六角柱からなるが，５個の切頂八面体＋１０個の六角柱＋１０個の六角柱＋５個の切頂八面体と考えることができる．

　ｎ次元置換多面体では，ｎ次元正単体のn+1Ｃ1＝ｎ＋１頂点とn+1Ｃn＝ｎ＋１胞にｎ−１次元置換多面体，n+1Ｃ2辺〜n+1Ｃn-1（ｎ−１）次元面はよくわからないが，これから類推すると，５次元置換多面体は６個の４次元切頂八面体＋１５個の４次元六角柱＋２０個の４次元立方体？＋１５個の４次元六角柱＋６個の４次元切頂八面体，６次元置換多面体は７個の５次元切頂八面体＋２１個の５次元六角柱＋３５個の５次元立方体？＋３５個の５次元立方体？＋２１個の５次元六角柱＋７個の５次元切頂八面体となるのであろうか？　（そうはならないと思われる）

　ともあれ，ｎ次元置換多面体には２（ｎ＋１）個のｎ−１次元置換多面体が配置されているのであるが，胞に配置されているｎ−１次元置換多面体は頂点の配置されているｎ−１次元置換多面体をベルト状に結ぶ際にできるものと考えないと辻褄が合わなくなる．

　なぜなら，ｎ次元置換多面体の頂点数は（ｎ＋１）！であって，ｎ−１次元置換多面体の頂点数ｎ！の（ｎ＋１）倍であるからである．そうすると，ｎ次元置換多面体の辺数（ｎ＋１）！・ｎ／２は

［１］ｎ−１次元置換多面体の辺数ｎ！・（ｎ−１）／２の（ｎ＋１）個分＝（ｎ＋１）！（ｎ−１）／２

［２］ｎ−１次元置換多面体の頂点数ｎ！の（ｎ＋１）個分＝（ｎ＋１）！をすべて結ぶ際にできる辺数＝（ｎ＋１）！／２

の和として得られることになる．

　　（ｎ＋１）！（ｎ−１）／２＋（ｎ＋１）！／２＝（ｎ＋１）！・ｎ／２

　また，ｎ次元置換多面体の胞数は

［１］ｎ次元単体の頂点数＝ｎ＋１

［２］ｎ次元単体の辺数〜（ｎ−１）次元胞数の和Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）

の和であって，２（２^n−１）となるのである．

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【２】正軸体版の逐次構造

　３次元正軸体版である大菱形立方八面体は６枚の八角形と１２枚の正方形と８枚の六角形からなる．これらは正八面体の６頂点に正八角形，８面に正六角形，６辺に正方形が配置されている．

　これから類推すると４次元正軸体版は８個の大菱形立方八面体＋２４個の八角柱＋３２個の六角柱＋１６個の切頂八面体，５次元正軸体版は１０個の４次元大菱形立方八面体＋４０個の４次元八角柱＋８０個の４次元立方体？＋８０個の４次元六角柱＋３２個の４次元切頂八面体，６次元置換多面体は１２個の５次元大菱形立方八面体＋６０個の５次元八角柱＋１６０個の５次元立方体？＋２４０個の５次元立方体？＋１９２個の５次元六角柱＋６４個の５次元切頂八面体となるのであろうか？　（そうはならないと思われる）

　ともあれ，ｎ次元正軸体版には２ｎ個のｎ−１次元正軸体版が配置されていることになる．その場合，ｎ次元正軸体版の頂点数は２^nｎ！であって，ｎ−１次元正軸体版の頂点数２^n-1（ｎ−１）！の２ｎ倍である．

　そうすると，ｎ次元正軸体版の辺数２^nｎ！・ｎ／２は

［１］ｎ−１次元正軸体版の辺数２^n-1（ｎ−１）！・（ｎ−１）／２の２ｎ個分＝２^nｎ！（ｎ−１）／２

［２］ｎ−１次元正軸体版の頂点数２^n-1（ｎ−１）！ｎ！の２ｎ個分＝２^nｎ！をすべて結ぶ際にできる辺数＝２^nｎ！／２

の和として得られることになる．

　　２^nｎ！（ｎ−１）／２＋２^nｎ！／２＝２^nｎ！・ｎ／２

　また，ｎ次元正軸体版の胞数は

［１］ｎ次元正軸体の頂点数＝２ｎ

［２］ｎ次元正軸体の辺数〜（ｎ−１）次元胞数の和Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

の和であって，３^n−１となるのである．

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