Ｐ^2＝（４／ｎ）^n（４・２／ｎ）^n(n-1)/2（４・３／ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（４・ｎ／ｎ）＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

の数値計算を阪本ひろむ氏にお願いしたところ，即刻回答が届いた．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　ｆ（ｎ）＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

とおく．

　　ｆ（１）＝４，ｆ（２）＝１６

はよいとして，問題はｆ（３）以降である．

　　ｆ（３）＝１７９．７９７→有理数

　　ｆ（４）＝２０７３６→整数（平方数）

　　ｆ（５）＝３．０６６×１０^8→有理数

　　ｆ（６）＝９．２６８２３×１０^16→有理数

　　ｆ（７）＝１．５７６４１×１０^34→有理数

　　ｆ（８）＝１．３２９２６×１０^69→有理数

　　ｆ（９）＝５．６２４２５×１０^139→有理数

　　ｆ（10）＝１．９３３３６×１０^282→有理数

　ｎ→∞のとき発散するようだ．ｆ（29）でオーバーフロー．ｆ（32）では初めてinderteminate not integerとなるが，３１＞ｎ≧５ではすべて非整数と判定された．（その２２）でｎ＞１６ではＰ^2は整数にはならないことが証明（？）されているが，（４／ｎ）^(2^n-1)の収束のオーダーが非常に高いことに注目すると，これ以上の計算は不要だろう．ｎ≧５ではＰ^2は整数にはならないことの証明は最初から数値計算によるべきであったのだ．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

［まとめ］

【１】正ｎ＋１胞体

　　Ｐ＝｛２（１＋１／ｎ）｝^n/2

となって，偶数次元では有理数となる．ｎ≧２では整数にはならない．

【２】正２ｎ胞体

　　Ｐ^2＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

はｎ＝４で整数となるが，ｎ≧５では整数にはならない（はず）．

【３】正２^n胞体

　　Ｐ＝（√２）^2(n-1)・２＝２^n

となって常に整数となるが，決してＶ＝２ｎにはならない．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝