Ｐ＝（２／√ｎ）^n（２√２／√ｎ）^n(n-1)/2（２√３／√ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（２√ｎ／√ｎ）

　　Ｐ^2＝（４／ｎ）^n（４・２／ｎ）^n(n-1)/2（４・３／ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（４・ｎ／ｎ）

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！で割り切れるから，Ｎjはすべて整数である．また，

　　（４／ｎ）^n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6+･･･+1＝（４／ｎ）^(2^n-1)

である．

　　１^n・２^n(n-1)/2・３^n(n-1)(n-2)/6・・・ｎ^1＝Πｋ^（ｎ，ｋ）

に対しては

　　１・ｎ＋２・ｎ（ｎ−１）／２＋３・ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６＋・・・＋ｎ・１＝Σｋ・（ｎ，ｋ）＝ｎ・２^n-1

のような適当な式が見あたらない．

　したがって，

　　Ｐ^2＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

はこれ以上簡単にすることができないと思うが，少なくともｎ＝４では整数となることがわかるだろう．ｎ＝８，１６，３２，・・・ではどうだろうか？

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［１］ｎ＝４の場合

　　（４／４）^15＝１

　　１^4・２^6・３^4・４^1→整数（平方数）

［２］ｎ＝５の場合

　　（４／５）^31

　　１^5・２^10・３^10・４^5・５^1→整数にはならない

［３］ｎ＝６の場合

　　（４／６）^63＝（２／３）^63

　　１^6・２^15・３^20・４^15・５^6・６^1→整数にはならない

［４］ｎ＝７の場合

　　（４／７）^127

　　１^7・２^21・３^35・４^35・５^21・６^7・７^1→整数にはならない

［５］ｎ＝８の場合

　　（４／８）^255＝１／２^255

　　１^8・２^28・３^56・４^70・５^56・６^28・７^8・８^1＝２^199・Ｒ→整数にはならない

［６］ｎ＝２^kの場合

　　（４／２^k）^(2^(2^k)-1)＝１／２^(k-2)(2^(2^k)-1)

ここで，

　　１^n・２^n(n-1)/2・３^n(n-1)(n-2)/6・・・ｎ^1＝Πｋ^（ｎ，ｋ）

でなく

　　２^n・２^n(n-1)/2・２^n(n-1)(n-2)/6・・・２^1＝Π２^（ｎ，ｋ）

を考えることにすると，

　　Π２^（ｎ，ｋ）＝２^(2^n-1)＝２^(2^(2^k)-1)

　区間［１，２^k］には２の平方数・立方数などが含まれるがまばらにしか分布しないし，さらに素数は平方数ほどまばらには分布していないことを考慮すると，最大で見積もっても

　　２^(k-2)(2^(2^k)-1)

にはならない，すなわち，ｎ≧５ではＰ^2は整数にはならないものと推測される（本当か？）．

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