（その１６）で，３次元・４次元の多面体に対してひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積を調べてみたところ，一般に対角線や辺の長さは無理数になるため，長さの積は整数にすらならないことがわかったが，正八面体，正８胞体，正１６胞体，正２４胞体では整数，正５胞体では有理数になることがわかった．高次元の正多面体ではどうだろうか？

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【１】正ｎ＋１胞体

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｖ＝ｎ＋１，Ｋ＝（１＋１／ｎ）

　　Ｋ＝１／ｒ^2

　　Ｐ＝Π（√ＫＬj）^Ｎj

を計算すると

　　Ｐ＝｛２（１＋１／ｎ）｝^n/2

となって，偶数次元では有理数となることがわかる．なお，ｎ≧２では整数にはならない．

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【２】正２ｎ胞体

　　Ｌ1＝２，Ｎ1＝ｎ

　　Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝ｎ（ｎ−１）／２

　　Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｌn＝２√ｎ，Ｎn＝１

　　Ｖ＝２^n，Ｋ＝１／ｎ

　　Ｐ＝（２／√ｎ）^n（２√２／√ｎ）^n(n-1)/2（２√３／√ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（２√ｎ／√ｎ）

　　Ｐ^2＝（４／ｎ）^n（４・２／ｎ）^n(n-1)/2（４・３／ｎ）^n(n-1)(n-2)/6・・・（４・ｎ／ｎ）

　連続するｋ個の自然数の積はｋ！で割り切れるから，Ｎjはすべて整数である．また，

　　（４／ｎ）^n+n(n-1)/2+n(n-1)(n-2)/6+･･･+1＝（４／ｎ）^(2^n-1)

である．

　　１^n・２^n(n-1)/2・３^n(n-1)(n-2)/6・・・ｎ^1＝Πｋ^（ｎ，ｋ）

に対しては

　　１・ｎ＋２・ｎ（ｎ−１）／２＋３・ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６＋・・・＋ｎ・１＝Σｋ・（ｎ，ｋ）＝ｎ・２^n-1

のような適当な式が見あたらないが，少なくともｎ＝４では

　　Ｐ^2＝（４／ｎ）^(2^n-1)・Πｋ^（ｎ，ｋ）

は整数となることがわかるだろう．

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【３】正２^n胞体

　　Ｌ1＝√２，Ｎ1＝２（ｎ−１）

　　Ｌ2＝２，Ｎ2＝１

　　Ｖ＝２ｎ，Ｋ＝１

　　Ｐ＝（√２）^2(n-1)・２＝２^n

となって常に整数となるが，決してＶ＝２ｎにはならないのである．

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