［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．この定理をΣｄ^2＝ｖ^2と表すことにする．

　それに対して

［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．

はΠｄ＝ｖあるいは同じことであるがΠｄ^2＝ｖ^2で表される．両者を対比するにΣｄ^2＝ｖ^2とΠｄ^2＝ｖ^2の方が何かと都合がよかろう．

　前者はベクトルの観点から証明したが，今回のコラムでは後者の証明を与えることにしたい．

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　後者に対してもベクトルとか三角法（座標幾何学）あるいは複素数を使ったアプローチが考えられるところであるが，とりわけ複素数（複素指数関数）は有望であるように思われる．また，ｎの固定値（ｎ＝５とかｎ＝６，ｎ＝９など）に対しても証明できるが，一般的なｎの場合を扱うことにする．

　複素平面上の単位円にｎ個の頂点ｚ0＝１，ｚ1，ｚ2，・・・，ｚn-1をもつ正ｎ角形が内接しているとする．

　　ｚk＝ｃｏｓ（２ｋπ／ｎ）＋ｉｓｉｎ（２ｋπ／ｎ）

ｚ0〜ｚn-1は方程式ｚ^n−１＝０の根である．また，

　　ｚ^n−１＝（ｚ−１）（ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１1）

より，ｚ1〜ｚn-1は方程式ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１＝０の根である．

　したがって，

　　ｚ^n-1＋・・・＋ｚ＋１＝（ｚ−ｚ1）（ｚ−ｚ2）・・・（ｚ−ｚn-1）

と因数分解できるが，ここでｚ＝１を代入すると

　　（１−ｚ1）（１−ｚ2）・・・（１−ｚn-1）＝ｎ

　　｜１−ｚ1｜｜１−ｚ2｜・・・｜１−ｚn-1｜＝ｎ　　　（ＱＥＤ）

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