［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．
この定理の面白いところは，２次元図形だけでなくすべての次元で通用することである．すなわち，すべての次元において，単位球に内接する正多胞体のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることになる．無理数でなく整数！ この美とエレガンス！
それでは，
［Ｑ］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積を求めよ．
［Ａ］ｎ＝３のときは対角線をもたないので，辺の長さ√３→積＝（√３）^2＝３．ｎ＝４のとき，この単位円に内接するのは正方形であるから，可能な長さは辺の長さ√２と対角線の長さ２である→積＝（√２）^2・２＝４．ｎ＝５のときは簡単ではないので省略するが，ｎ＝６のとき，辺の長さ１と対角線の長さ√３と２である→積＝１^2・（√３）^2・２＝６．特別な場合としてｎ＝２のときは，正ｎ角形は直径に退化する．直径の長さ２であるから，積＝２．
一般に単位円に内接する正Ｖ角形のひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は，Ｖのパリティー（奇数か偶数か）によらず，Ｖになる．
今回のコラムでは，正多面体が半径１の球に内接しているとき，すべての辺と対角線の長さの積を求めることにする．
ある頂点におけるＬjの本数をＮj，正多面体の頂点数をＶとする．外接球の半径をｒとした場合，単位球に換算するための補正項をＫとおくと，
Ｋ＝１／ｒ^2
Ｐ＝Π（√ＫＬj）^Ｎj
で与えられる．
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【１】正四面体
立方体の頂点をひとつおきに結んでできる（１，１，１），（１，−１，−１），（−１，１，−１），（−１，−１，１）を頂点とする１辺の長さ２√２，外接球の半径√３の正四面体を考える．
Ｌ1＝２√２，Ｎ1＝３
Ｖ＝４，Ｋ＝１／３
Ｐ＝（２√２／√３）^3＝４．３５４６５≠Ｖ
一般に対角線や辺の長さは無理数になるため，長さの積は整数にすらならない．
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【２】立方体
（±１，±１，±１）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径√３の立方体を考える．
Ｌ1＝２，Ｎ1＝３
Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝３
Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝１
Ｖ＝８，Ｋ＝１／３
Ｐ＝（２／√３）^3・（２√２／√３）^3・（２√３／√３）＝１３．４０８８≠Ｖ
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【３】正八面体
（±１，０，０），（０，±１，０），（０，０，±１）を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正八面体を考える．
Ｌ1＝√２，Ｎ1＝４
Ｌ2＝２，Ｎ2＝１
Ｖ＝６，Ｋ＝１
Ｐ＝（√２）^4・２＝８≠Ｖ
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【４】正十二面体
τ＝（１＋√５）／２とおくと，正十二面体は立方体の頂点（±１，±１，±１）と（±τ，±１／τ，０）の巡回置換で表される点，合計２０点を結んでできる．１辺の長さ２／τ，外接球の半径√３．
Ｌ1＝２／τ，Ｎ1＝３
Ｌ2＝２，Ｎ2＝６
Ｌ3＝２√２，Ｎ3＝６
Ｌ4＝２τ，Ｎ4＝３
Ｌ5＝２√３，Ｎ5＝１
Ｖ＝２０，Ｋ＝１／３
Ｐ＝２１３．０９３≠Ｖ
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【５】正二十面体
１２点（±τ，±１，０），（±１，０，±τ，），（０，±τ，±１）を結んでできる．１辺の長さ２，外接球の半径√（τ＋２）．
Ｌ1＝２，Ｎ1＝５
Ｌ2＝２τ，Ｎ2＝５
Ｌ3＝２√（τ＋２），Ｎ3＝１
Ｖ＝１２，Ｋ＝１／（τ＋２）
Ｐ＝３６．６３５７≠Ｖ
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【６】正５胞体
（１，０，０，０），（０，１，０，０），（０，０，１，０），（０，０，０，１），（（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２，（１−τ）／２）を頂点とする１辺の長さ√２の正５胞体を考える．重心は（（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０，（３−τ）／１０）であるから，外接球の半径は２／√５．
Ｌ1＝√２，Ｎ1＝４
Ｖ＝５，Ｋ＝５／４
Ｐ＝６．２５≠Ｖ
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【７】正８胞体
（±１，±１，±１，±１）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径２の正８胞体を考える．
Ｌ1＝２，Ｎ1＝４
Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝６
Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝４
Ｌ4＝４，Ｎ4＝１
Ｖ＝１６，Ｋ＝１／４
Ｐ＝１４４≠Ｖ
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【８】正１６胞体
（±１，０，０，０），（０，±１，０，０），（０，０，±１，０），（０，０，０，±１）を頂点とする１辺の長さ√２，外接球の半径１の正１６胞体を考える．
Ｌ1＝√２，Ｎ1＝６
Ｌ2＝２，Ｎ2＝１
Ｖ＝８，Ｋ＝１
Ｐ＝１６≠Ｖ
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【９】正２４胞体
正８細胞体の頂点（±１，±１，±１，±１）と正１６胞体の頂点（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）を頂点とする１辺の長さ２，外接球の半径２の正２４胞体を考える．
Ｌ1＝２，Ｎ1＝８
Ｌ2＝２√２，Ｎ2＝６
Ｌ3＝２√３，Ｎ3＝８
Ｌ4＝４，Ｎ2＝１
Ｖ＝２４，Ｋ＝１／４
Ｐ＝１２９６≠Ｖ
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【１０】正６００胞体
τ＝（１＋√５）／２とおくと，正６００胞体は正２４胞体の頂点（±１，±１，±１，±１），（±２，０，０，０），（０，±２，０，０），（０，０，±２，０），（０，０，０，±２）２４点と（±τ，±１，±１／τ，０）の偶置換で表される９６点，合計１２０点を結んでできる．１辺の長さ√（６−２√５）＝√５−１＝２／τ，外接球の半径２．
Ｌ1＝√（６−２√５），Ｎ1＝１２
Ｌ2＝２，Ｎ2＝２０
Ｌ3＝√（１０−２√５），Ｎ3＝１２
Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝３０
Ｌ5＝√（６＋２√５），Ｎ5＝１２
Ｌ6＝２√３，Ｎ6＝２０
Ｌ7＝√（１０＋２√５），Ｎ7＝１２
Ｌ8＝４，Ｎ8＝１
Ｖ＝１２０，Ｋ＝１／４
Ｐはオーバーフロー
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【１１】正１２０胞体
４次元正１２０胞体の構成は４次元正正多胞体のなかでも最も厄介であるが，６００個の頂点の座標は，σ＝（３√５＋１）／２，σ’＝（３√５−１）／２とおくと，正６００胞体の頂点を含む（±２，±２，±２，±２），（±４，０，０，０），（０，±４，０，０），（０，０，±４，０），（０，０，０，±４），（±２τ，±２，±２／τ，０）２１６点と（√５，√５，√５，１），（τ^2，τ^2，√５／τ，１／τ），（σ、１／τ，１／τ，１／τ），（τ√５，τ，１／τ^2，１／τ^2）に偶数個の負号をつけた点の置換２５６点，（σ’，τ，τ，τ），（３，√５，１，１）に奇数個の負号をつけた点の置換１２８点で与えられる．１辺の長さ√２（３−√５）＝２√２／τ^2，外接球の半径４．
Ｌ1＝√（２８−１２√５），Ｎ1＝４
Ｌ2＝√（１２−４√５），Ｎ2＝１２
Ｌ3＝√（２４−８√５），Ｎ3＝２４
Ｌ4＝２√２，Ｎ4＝１２
Ｌ5＝√（３６−１２√５），Ｎ5＝４
Ｌ6＝√（２０−４√５），Ｎ6＝２４
Ｌ7＝√（３２−８√５），Ｎ7＝２４
Ｌ8＝４，Ｎ8＝３２
Ｌ9＝√（２８−４√５），Ｎ9＝２４
Ｌ10＝√（１２＋４√５），Ｎ10＝１２
Ｌ11＝√（４０−８√５），Ｎ11＝２４
Ｌ12＝２√６，Ｎ12＝２８
Ｌ13＝√（３６−４√５），Ｎ13＝２４
Ｌ14＝√（２０＋４√５），Ｎ14＝２４
Ｌ15＝４√２，Ｎ15＝５４
Ｌ16＝√（４４−４√５），Ｎ16＝２４
Ｌ17＝√（２８＋８√５），Ｎ17＝２４
Ｌ18＝２√１０，Ｎ18＝２８
Ｌ19＝√（２４＋８√５），Ｎ19＝２４
Ｌ20＝√（５２−４√５），Ｎ20＝１２
Ｌ21＝√（３６＋４√５），Ｎ21＝２４
Ｌ22＝４√３，Ｎ22＝３２
Ｌ23＝√（３２＋８√５），Ｎ23＝２４
Ｌ24＝√（４４＋４√５），Ｎ24＝２４
Ｌ25＝√（２８＋１２√５），Ｎ25＝４
Ｌ26＝２√１４，Ｎ26＝１２
Ｌ27＝√（４０＋８√５），Ｎ27＝２４
Ｌ28＝√（５２＋４√５），Ｎ28＝１２
Ｌ29＝√（３６＋１２√５），Ｎ29＝４
Ｌ30＝８，Ｎ30＝１
Ｖ＝６００，Ｋ＝１／１６
Ｐはオーバーフロー
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【１２】雑感
［定理］正ｎ角形が半径１の円に内接している．ひとつの頂点からでるすべての辺と対角線の長さの積は頂点数に等しい．
は２次元でしか成り立たなかった．
しかるに，
［定理］単位円に内接する正多角形の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．単位球に内接する正多面体の対角線の長さの平方和は頂点数の２乗に等しい．
はすべての次元で通用する．両者の違いは何に基づいているのであろうか？
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