三角形の面積は底辺かける高さ割る２であるが，三角錐になると底面積かける高さ割る３，四次元の三角錐なら底体積かける高さ割る４，五次元なら底四次元面積かける高さ割る５・・・．

　置換多面体およびその２^n胞体系についての効率的な体積計算法は十中八九ないと思われるが，底面までの距離がわかれば，あとは底体積がわかればよいことになる．底体積を直接計算することが難しい場合であっても，漸化式が求められればそれに越したことはない．

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【１】正軸体の場合

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，すべての面までの距離を求めてみよう．

［１］（１，１，１）方向の六角形（１象限）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｙ＝ｚ平面での鏡映（ｙ，ｚ，ｘ）→ｚ＝ｘ平面での鏡映（ｘ，ｚ，ｙ）→（ｚ，ｙ，ｘ）→（ｚ，ｘ，ｙ）→（ｔ，ｘ，ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）．

［２］（１，１，０）方向の四角形（２象限にまたがる）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｘ＝ｙ平面での鏡映（ｙ，ｘ，ｚ）→ｚ＝０平面での鏡映（ｙ，ｘ，−ｚ）→（ｘ，ｙ，−ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，０）．

［３］（１，０，０）方向の八角形（４象限にまたがる）

　（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｙ，−ｚ）→（ｘ，ｚ，−ｙ）→（ｘ，−ｚ，−ｙ）→（ｘ，−ｙ，−ｚ）→（ｘ，−ｙ，ｚ）→（ｘ，−ｚ，−ｙ）→（ｘ，ｚ，ｙ）．

中心は（ｘ，０，０）．

　いくつの象限にまたがるかを含め，一般に

（１，１，・・・，１，１，１）→１通り，１象限

（１，１，・・・，１，１，０）→（ｎ，１）通り，２象限

（１，１，・・・，１，０，０）→（ｎ，２）通り，２^2象限

（１，０，・・・，０，０，０）→（ｎ，ｎ−１）通り，２^n-1象限

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【２】正単体の場合

　２次元の場合，全体を１次元あげて，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，すべての面までの距離を求めてみよう．

［１］（１，１，１）方向の六角形

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｙ＝ｚ平面での鏡映（ｙ，ｚ，ｘ）→ｚ＝ｘ平面での鏡映（ｘ，ｚ，ｙ）→（ｚ，ｙ，ｘ）→（ｚ，ｘ，ｙ）→（ｔ，ｘ，ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３）

［２］（１，１，０）方向

　（ｘ，ｙ，ｚ）→ｘ＝ｙ平面での鏡映（ｙ，ｘ，ｚ）．

中心は（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，ｚ）

［３］（１，０，０）方向

　（ｘ，ｙ，ｚ）→（ｘ，ｚ，ｙ）．

中心は（ｘ，（ｙ＋ｚ）／２，（ｙ＋ｚ）／２）

　３次元の場合はどうだろう．

［１］（１，１，１，１）方向→２４頂点からなる切頂八面体

　　（（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４，（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４，（ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ）／４）

［２］（１，１，１，０）方向

　　（（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，（ｘ＋ｙ＋ｚ）／３，ｗ）

［３］（１，１，０，０）方向

　　（ｘ，ｙ，（ｚ＋ｗ）／２，（ｚ＋ｗ）／２）

［４］（１，０，０，０）方向

　　（ｘ，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３，（ｙ＋ｚ＋ｗ）／３）

　一般に

（１，１，・・・，１，１，１）→１通り

（１，１，・・・，１，１，０）→（ｎ＋１，１）通り

（１，１，・・・，１，０，０）→（ｎ＋１，２）通り

（１，０，・・・，０，０，０）→（ｎ＋１，ｎ）通り

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