正単体では，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　　Ｑ＝（ｎ／Ｓ，（ｎ−１）／Ｓ，（ｎ−２）／Ｓ，・・・，０）＝（ｘ，ｙ，ｚ，・・・，ｗ）

　正軸体では，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω

を通る超平面と基本単体との交点を求める必要があるが，面倒な方程式を解かなくてもいくつかの交点の座標を求めることができる．

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【１】正単体の場合

　３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点（ｗ＝０）として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０

　したがって，この点からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面に下ろした垂線の足を求めればよい．それらは，

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，ｚ，，・・・，ｗ）

　　（ｘ，（ｙ＋ｚ）／２，（ｙ＋ｚ）／２，，・・・，ｗ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

となる．

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【２】正軸体の場合

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝ｚ

　→　ｙ＝ｚ＋√２ｚ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｚ＝ｚ＋２√２ｚ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，

　　３ｚ＋３√２ｚ＝１　→　ｚ＝１／（３＋３√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）のｚ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，−ｚ）であるから，辺の長さは２ｚ．

　４次元の場合は，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，ｗ＝０平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２＝ｗ

　→　ｚ＝ｗ＋√２ｗ

　　　ｙ＝ｚ＋√２ｗ＝ｗ＋２√２ｗ

　　　ｘ＝ｙ＋√２ｗ＝ｗ＋３√２ｗ

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，

　　４ｗ＋６√２ｗ＝１　→　ｗ＝１／（４＋６√２）

また，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）のｗ＝０平面に対する鏡映は（ｘ，ｙ，ｚ，−ｗ）であるから，辺の長さは√２ｗ

　一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｎω＋Ｓ√２ω＝１，ω＝１／（ｎ＋Ｓ√２）

　　　ｘ＝（１＋（ｎ−１）√２）ω，ｙ＝（１＋（ｎ−２）√２）ω，ｚ＝（１＋（ｎ−３）√２）ω，・・・，ｗ＝ω

　したがって，この点からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面，・・・，ｗ＝０平面に下ろした垂線の足を求めればよい．それらは，

　　（（ｘ＋ｙ）／２，（ｘ＋ｙ）／２，ｚ，，・・・，ｗ）

　　（ｘ，（ｙ＋ｚ）／２，（ｙ＋ｚ）／２，，・・・，ｗ）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（ｘ，ｙ，ｚ，・・・・・・・・・・・・・・・・，０）

となる．

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