立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．立方体以外の単一多面体による空間充填体としては，菱形十二面体や切頂八面体がよく知られている．両者はしばしば対比され，どちらも単独で空間充填可能な立体図形であるが，菱形十二面体が面心立方格子（立方体の８個の頂点と６個の面の中心に原子が配置されている構造）のボロノイ図（隣り合った２点を結ぶ線分の垂直二等分面を次々に引いていくことによりできる多面体パターン）であるのに対して，切頂八面体は体心立方格子（立方体の８個の頂点と重心に原子が配置されている構造）のボロノイ図となっている．立方体と菱形十二面体は白銀比１：√２と関係していて，白銀比による周期的空間充填の例と考えることができる．
一方，黄金比１：φが関係する空間充填としては，５種類の黄金平行多面体による非周期的空間充填が知られている．これらはコクセターにより，Ａ6（acute），Ｏ6（obtuse），Ｂ12（Bilinsky），Ｆ20（Fedrov），Ｋ30（Kepler）と名づけられていて，それぞれ３次元から６次元までの立方体の投影の外殻になっている．すなわち，黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6，Ｏ6であり，それをさらに平行移動させるとＢ12が，続いてＦ20が，最後にＫ30が生まれるというわけである．
われわれは白銀比と黄金比が混在し，相補的に３次元空間を充填する図形を発見したので，本稿ではその新発見をレポートしたい．これまで知られていなかった空間充填例が見つかったことは奇跡的といってもよいだろう．要約を先にいうと，発見［１］はあるジョンソン・ザルガラー多面体を介することによって立方体（白銀比）と正１２面体（黄金比）と正多角形面をもつ立体（ジョンソン・サルガラー立体）だけによる空間充填，発見［２］はカタラン立体の亜種を考えることによって，黄金比と白銀比に相補性を見いだしたというものである．
黄金比と白銀比は対比されるばかりでこれまで接点が論じられたことがなかったが，黄金比と白銀比の接点と相補性が確認されたのである．
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【１】黄金比と白銀比
まずは基本的な事項のおさらいから・・・．１辺の長さが１の正多角形を考える．正三角形は対角線をもたないが，正六角形には長さ√３と２の２種類の対角線がある．対角線の長さが１種類なのは正方形の√２と正五角形の（１＋√５）／２に限られる（もうひとつの正方形と正五角形の特殊性）．√２とφ＝（１＋√５）／２は１辺と対角線の長さの比である特別な値であって，それぞれ白銀比，黄金比と呼ばれている．
つぎに縦横比が白銀比，黄金比の長方形を考える．白銀長方形を長辺を２等分するように２つ折りにすると，一回り小さな白銀長方形が現れる（白銀長方形の自己再生性）．このことから白銀長方形は紙のサイズの規格になっている．一方，黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてくる．黄金長方形も自己再現型図形としてよく知られている．
この操作は無限に続けることができるが，このことは黄金比，白銀比がそれぞれ，無限級数
１＋１／φ＋１／φ^2＋１／φ^3＋１／φ^4＋・・・＝φ^2
１＋１／２＋１／２^2＋１／２^3＋１／２^4＋・・・＝２ （マラルディ）
無限連分数
φ＝［１：１，１，１，，１，・・・］ （フィボナッチ）
√２＝［１：２，２，２，２，・・・］
で表されることと同義である．
［補］正六角形の場合，辺と対角線の長さの比は１：√３，１：２となる．１：２はドミノや日本の畳の形であるが，細長すぎて安定しない形といえるかもしれない．１：√３には白金比という呼び名もあるらしい．
１＋１／３＋１／３^2＋１／３^3＋１／３^4＋・・・＝３／２
√３＝［１：１，２，１，２，・・・］
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【２】正１２面体と立方体とＪ91による大域的空間充填
われわれは正１２面体が加わった空間充填形を発見した．それをシンボリックに書くと
１立方体＋１正１２面体＋３ジョンソン・ザルガラー多面体Ｊ91→Ｊ91空間充填
立方体は白銀比，正１２面体は黄金比に基づく立体であり，正１２面体のように５回回転対称性を有する多面体が加わった空間充填形はこれまで発表されている空間充填形とは異なっている．また，ジョンソン・ザルガラー多面体Ｊ91（３^8４^2５^4）は４個の正五角形面，２個の正方形面，８個の正三角形面をもつ双月形双円形体として知られており，菱形１２面体と同じ２回回転対称性をもっている１４面体である．これは１：１：φの正四角柱を削ることによって作ることができる．
体心立方格子の重心に正十二面体，８個の頂点に立方体を配置し（それぞれcubic symmetryをなすこの配置は結晶学では近似結晶と呼ばれる），そしてＪ91の正三角形面を合わせるように直交３方向に繋いでいくと，立方体と正十二面体を完全に覆うことができる．すなわち，Ｊ91・立方体・正十二面体の３種類の立体を３：１：１で組み合わせると空間を隙間なくで充填することができるのである．
また，１辺の長さがａの正十二面体の体積が
（１５＋７√５）／４・ａ^3
であることから１辺の長さがａのＪ91の体積は
（１７＋９√５）／１２・ａ^3
であることも計算される．
正方形面からなる立方体は単独で空間充填可能であるが，正五角形面からなる正１２面体は空間内に配列させるとどうしても隙間が残ってしまう．Ｊ91は立方体と正１２面体を結びつける役割をしているのであるが，水と油というまったく異質のものを結びつける石けんにたとえてもよいであろう．
［Ｑ］正多角形連結切断面による空間充填，すなわち，ＪＺ多面体９２種＋正多面体＋準正多面体のうち，何種類かを用いて空間充填できるものをすべて決定せよ．
に対しては
［Ａ］途中経過であるが，Ｊ91充填は５回対称性多面体を含む唯一のＪＺ充填である．
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【３】黄金比と白銀比を逆転させた変形菱形十二面体と変形菱形三十面体による局所的空間充填
菱形十二面体，菱形三十面体はいずれも準正多面体の双対ですから球に外接します（内接球をもちます）が，それ以外に共通点はないようにみえます．前者には立方体の性質が遺伝し，後者は正１２面体の性質を受け継いでいます．
ここで，菱形十二面体の白銀菱形を黄金菱形で，菱形三十面体の黄金菱形を白銀菱形で置き換えてみると，どのようなことが起こるのでしょうか？ いままで余り見たことのない多面体と思われるのもそのはず，それらは平面とはならず，菱形を対角線で折り曲げた空間４角形を構成します．そうしないと閉じた多面体にならないからです．
実際の形は黄金比二等辺三角形２枚で置き換えた２４面体と菱形三十面体の黄金菱形を白銀比二等辺三角形２枚で置き換えた６０面体になりますが，各々，対角線で折り曲げる方向（mountain fold, valley fold）から２種類の多面体，
(1)黄金菱形を長軸で山折りにしたｍ２４面体
(2)黄金菱形を短軸で谷折りにしたｖ２４面体
(3)白銀菱形を長軸で谷折りにしたｖ６０面体
(4)白銀菱形を短軸で山折りにしたｍ６０面体
の計４種類ができます．
そして，おもしろいことに対角線の長軸方向で折り曲げられた２つの多面体(1)(3)において，ｍ２４面体の凸部はｖ６０面体の凹部にはぴったりはまりこみます．その部分の二面角δを計算してみると，
ｔａｎδ＝−２（√５−√２）／３
より１５１．２８１°となって，両者は完全に一致します．すなわち，両者は相互補完的な関係にあることが判明したわけです．
また，黄金菱形を長軸で山折りにしたｍ２４面体（第２種）と白銀菱形を長軸で山折りにしたｍ６０面体でも，
ｔａｎδ＝２（√５＋√２）／３
で，二面角は６７．６６１°となり一致します（どちらも山折り同士なのではめ込むことはできませんが・・・）．
［補］対角線の長さの比がω＝（７＋√２−√５＋√１０）^1/2／２＝１．５２８１１の菱形を用いた凸２４面体，凹６０面体はぴったりはまりこみ，より空間充填に適した形になります．このとき二面角は
ｔａｎδ＝（−１＋√２＋√５−√１０）／２
より１６５．６４１°となります．ω＝１．５２８１１を白銅比あるいは青銅比という名で呼ぶことを提案したいと思います．
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【４】雑感
わが国の仏教寺院建築，たとえば大和の法隆寺は白銀比長方形の区画の上に建てられています．函館戦争で榎本武揚が立てこもった五稜郭には黄金比がみられますが，古代エジプトのピラミッドの底面の１辺の長さと高さの比や古代ギリシャのパルテノン神殿の外形にも黄金長方形が使われていることが知られています．
黄金比は西洋人に愛される形，白銀比は東洋人に好まれる形といわれますが，実際，黄金比と白銀比は対比されるばかりでこれまで接点が論じられたことがなかったように思われます．西洋的・東洋的の対比はともかく，以上のような相補関係は気づきにくいものです．
これまで知られていなかった黄金比と白銀比による相補的空間充填の例が見つかったことは奇跡的といってもよく，これこそ非常に単純だが深淵な数学的発見が今日なお可能である一つの例と考えられます．
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