スターリング（Stirling）の公式
ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）
は，階乗ｎ！とその近似値として使われる公式として有名な漸近近似公式です．たとえば，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．
スターリングの公式は面白い公式で，たとえば，
ｎ！／ｎ^n 〜 √（２πｎ）／ｅ^n
１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ 〜 √（２πｎ）／ｅ^n
として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかります．
この公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などに用いられます．この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．スターリングの公式はいろいろな方法で導かれますが，本稿では図形的にスターリングの公式をどこまで近似できるかを示すことにします．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【１】ｎ次元正軸体の切頂
ｎ次元正軸体（cross polytope）を切頂して，すべての辺が同じ長さの「ｎ次元切頂八面体」を作ることを考える．この多胞体は胞数２^n＋２ｎの空間充填図形となる．正軸体を切頂する場合，すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？
ｎ次元正軸体の頂点の座標は，標準単体の座標
（１，０，・・・，０）
（０，１，・・・，０）
・・・・・・・・・・・
（０，０，・・・，１）
の±の組み合わせで与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，
Ｐ0（１，０，・・・，０）
Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）
Ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）
・・・・・・・・・・・・・・・・
Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）
Ｐn（０，０，・・・，０）
［１］３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，ｚ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２
→ ｘ＝２ｙ，ｙ＝ｙ，ｚ＝０ （切頂八面体）
点Ｐ（ｘ，ｙ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，０）であるから，辺の長さは
√２（ｘ−ｙ）＝√２ｙ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＝１上の点であるから代入すると，３ｙ＝１
→ ｘ＝２／３，ｙ＝１／３，ｚ＝０
［２］４次元の場合は，ｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２
→ ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０
点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，０）であるから，辺の長さは
√２（ｘ−ｙ）＝√２ｚ
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１
→ ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０
［３］一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として
→ ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｙ＝（ｎ−２）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−３）／ｓ，・・・，ｗ＝０
となることが理解される．
正軸体の頂点をトランケートして，辺の長さが等しくなるように調整するには頂点ベクトルＰ0Ｐnに垂直なｎ次元超平面を
ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ
で切頂すればよい（ｎ＝３のときはｘ＝２／３）．なお，この超平面はｎが偶数のとき，頂点Ｐn/2-1を通る．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】不等式の図形的証明
ここでは本稿の基になるアイディアを紹介したい．もとのｎ次元正軸体の１象限分（標準単体）の体積は１／ｎ！．また，切頂後２個で１辺の長さ（２／ｎ）の立方体ができるから，直ちに不等式
２／ｎ！≧（２／ｎ）^n
ｎ！／ｎ^n≦２（１／２）^n
が成り立つことがわかる．この不等式はｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／２より小さいことを示している．
この不等式は，スターリングの公式から明らかかもしれないが，図形的に示すことができることは面白いだろう．もし，この不等式を直接的に証明するならば
ｎ！≦２（ｎ／２）^n
ｎ！／ｎ^n≦１／２^n-1
１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1
であることを証明すればよい．
左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると
左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n
ここで，
（１＋１／ｎ）^n
は増加数列で
２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ
あることがいえるので，ｎ！≦２（ｎ／２）^nが証明されたことになる．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】スターリングの公式の図形的近似式
スターリングの公式にはπが出現しますが，ここではｎ次元切頂正軸体を超球近似することを試みます．球に相当するｎ次元の図形を超球と呼びます．ｎ次元単位超球{x1^2+x2^2+･･･+xn^2≦1}の体積をＶnとすると，Ｖ1=2（直径）,Ｖ2=π（面積）,Ｖ3=4π/3（体積）はご存知でしょう．また，単位超球の表面積Ｓn-1はｎＶn，半径ｒのｎ次元球の体積はｖnｒ^n，表面積はｎＶnｒ^n-1となります．
ここで，Ｖnは
Ｖn=π^(n/2)/Γ(n/2+1)
で与えられます．この結果は，形式的に
Ｖn=π^(n/2)/(n/2)！
と書くことができます． Γ(m+1)=m!
これより，半径ｒのｎ次元超球の超体積は
Ｖnｒ^n=(πr^2)^(n/2)/Γ(n/2+1)
となります．
［補］ガンマ関数Γ（ｘ）には，Γ（ｘ＋１）＝ｘΓ（ｘ）の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．
Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････
したがって，ｘが正の整数ｎのときには
Γ（ｎ＋１）＝ｎ！
が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．階乗の解析的補間をしている関数がガンマ関数なのです．
Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π
また，Ｖn-2との漸化式
Ｖn/Ｖn-2=2π/n
を用いると任意のｎに対して
ｎが奇数であればＶn=2(2π)^((n-1)/2)/n!!
ｎが偶数であればＶn=(2π)^(n/2)/n!!
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ここで，正軸体の内接球の体積
π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2
とｎ次元切頂八面体の体積
１／２・（２／ｎ）^n・２^n
の大小比較を行ってみたい．
なお，
正軸体の内接球の半径＝１／√ｎ＝√ｎ／ｎ
であるから，ｎ＝４のとき，１／√ｎ＝２／ｎとなって，４次元切頂八面体（すなわち正２４胞体）に内接する．しかし，ｎ＞５のとき
１／√ｎ＞２／ｎ
になって，内接球はｎ次元切頂八面体からはみ出すことが示される．
［１］偶数次元の場合（ｎ＝２ｋ）
１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k≒π^k/ｋ！・１／（２ｋ）^k
より，
ｋ！／ｋ^k≒２（π／８）^k
さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，
ｋ！／ｋ^k≒２（１／ｅ）^k
が示される．スターリングの公式は，ｎがおおきくなるにつれて
ｎ！／ｎ^n〜√（２πｎ）ｅｘｐ（−ｎ）
であるから，スターリングの公式に非常に接近した値が得られたことになる．
［２］奇数次元の場合（ｎ＝２ｋ＋１）
ここまでくればスターリングの公式
ｎ！／ｎ^n 〜 √（２πｎ）／ｅ^n
の√ｎのオーダーを図形的に得る方法を考えたいものである．そこで，奇数次元（ｎ＝２ｋ＋１）の場合の正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較を考えることにする．
π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^(k+1/2)/Γ((2k+3)/2)
＝π^(k+1/2)／｛（２ｋ＋１）／２・（２ｋ−１）／２・・・√π）
＝(2π)^k／（２ｋ＋１）！！
＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！
また，内接球の半径は１／√ｎであるから，
１／ｎ^n/2＝１／（２ｋ＋１）^(k+1/2)
π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！（２ｋ＋１）^(k+1/2)
一方，ｎ次元切頂八面体の体積は
１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1
であるから，
（２ｋ＋１）！／ｋ！（２ｋ＋１）^kと（π／４）^k（２ｋ＋１）^1/2／２
の大小を比較することになるが，
（ｋ＋１）／（２ｋ＋１）・（ｋ＋２）／（２ｋ＋１）・・・（２ｋ＋１）／（２ｋ＋１）〜（π／４）^k（２ｋ＋１）^1/2／２≒（π／４）^(n-1)/2・ｎ^1/2／２・・・・・（１）
となって，√ｎのオーダーが得られていることがわかる．
Stirlingの公式の大体の形は（ｎ！／ｎ^n+1/2・ｅ（−ｎ）がｎ→∞のときに一定の極限値をもつ）はいろいろな方法で導かれるが，その極限値を正しく√（２π）とするにはWallisの公式が不可欠のようである．実際，これまでの証明はすべてWallisの公式（ないしそれと同等の結果）を活用している．したがって，それを使うのは問題ないだろう．
π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＝(4π)^kｋ！／（２ｋ＋１）！（２ｋ＋１）^(k+1/2)
＝(4π)^kｋ！／（２ｋ）！（２ｋ＋１）^(k+3/2)
に対して，ウォリスの公式を適用すると
＝π^k（πｋ）^1/2／ｋ！（２ｋ＋１）^(k+3/2)
これと，ｎ次元切頂八面体の体積の
１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝２^4k+1／（２ｋ＋１）^2k+1
大小比較では，
ｋ！／（２ｋ＋１）^kと（π／１６）^k（πｋ）^1/2／２（２ｋ＋１）^1/2
の比較になるが，
１／（２ｋ＋１）・２／（２ｋ＋１）・・・ｋ／（２ｋ＋１）≦（π／１６）^k（πｋ）^1/2／２（２ｋ＋１）^1/2≒（π／１６）^(n-1)/2（（ｎ−１）π／２）^1/2／２ｎ^1/2・・・・・（２）
となる．
（１）（２）をかけ合わせると
ｎ！／ｎ^n〜（π／８）^(n-1)（（ｎ−１）π／２）^1/2／４＝（π／８）^n（２（ｎ−１）／π）^1/2
〜√（２ｎ／π）（π／８）^n
となって，近似度が向上する．このあたりが限界であろう．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】まとめ
正軸体と切頂正軸体の体積比較によって，不等式
ｎ！／ｎ^n≦２（１／２）^n
正軸体の内接球と切頂正軸体の体積比較によって
ｎ！／ｎ^n≒２（π／８）^n
Wallisの公式を使って
ｎ！／ｎ^n≒√（２ｎ／π）（π／８）^n
が得られた．
さらに，πｅ＝８，５３９・・・より，
（π／８）^n≒（１／ｅ）^n
が示される．スターリングの公式には図形的近似が奏効するというわけである．図形的な方法では限界があるとはいえ，面白い結果と思う．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝