［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン
には立方体，直角三角錐，正軸体（十字多面体）の他にも四角錐の離散体積とその母関数も掲載されているので，紹介したい．
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【１】四角錐の離散体積とその母関数
ｎ−１次単位立方体を底面とし，（０，０，，・・・，０，１）を頂点とするｎ次元四角錐を考えると，伸長多面体の離散体積は
Ｌ（ｔ）＝Σ(k=0,t+1)ｋ^n-1＝（Ｂn（ｔ＋２）−Ｂn）／ｎ
と書くことができる．ここで，Ｂn（ｘ）はベルヌーイ多項式，Ｂnはベルヌーイ数である．Ｂn＝Ｂn（０）である．
また，Ｌ（ｔ）の母関数は，オイラー数を用いて
１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝１＋Σ（ｔ＋１）^nｚ^t＝ΣＡ(n-1,k)ｚ^k-1／（１−ｚ）^n+1
と書くことができる．
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【２】離散体積から連続体積へ
母関数
（ｈnｚ^n＋ｈn-1ｚ^n-1＋・・・＋ｈ1ｚ＋１）／（１−ｚ）^n+1
に対して，連続体積
ｖｏｌＰ＝（ｈn＋ｈn-1＋・・・＋ｈ1＋１）／ｎ！
が成り立つ．ΣＡ(n-1,k)＝（ｎ−１）！より１／ｎとなる．
ｎ＝３の場合，「陽馬」と呼ばれる四角錐は単位立方体の３等分体で，体積１／３というわけである．
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【３】対称多項式
ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+an
が関係式
f(x)=f(-1-x)(-1)^n
を満たすとき，ｎ次対称多項式と呼ぶことにします．
０次対称多項式：f(x)=c（定数関数）
１次対称多項式：f(x)=x+1/2，f(x)=ax+a/2
２次対称多項式：f(x)=ax^2+ax+c
ｎ次対称多項式：f(x)=ax^n+a(1+x)^n
などはその例です．すなわち，ｘの代わりに−１−ｘを代入すると，ｎが奇数のとき符号が交代，ｎが偶数のとき交代しない関数が対称多項式です．
f(x)=f(-1-x)(-1)^n
の両辺を微分すると
f'(x)=f'(-1-x)(-1)^(n-1)
f"(x)=f"(-1-x)(-1)^(n-2)
(n-k)次導関数も対称多項式になります．ｘ＝０とおくと，ｎ次多項式：f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+･･･+an-1x+anが対称多項式であるための必要十分条件は
f(k)(0)=f(k)(-1)(-1)^(n-k) (k=0~n)
が成り立つことであることがわかります．そのためには係数の間に関係式
{1+(-1)^(k-1)}ak=Σ(n-i,n-k)ai(-1)^i (k=0~n)
が成り立たねばなりません．
また，ｓ次対称多項式Ｆs(x)を適当に選んで
f(x)=ΣｃsＦn-s(x)
がｎ次対称多項式になるためにはｃ2k+1=0が成り立たねばなりません．
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［１］ベルヌーイ多項式
Ｂ0(x)=1，Ｂ2k+1(0)=0，Ｂ's(x)=Ｂs-1(x)
を満たすｓ次対称多項式をベルヌーイ多項式Ｂs(x)として定義します．この条件より帰納的にＢs(x)を求めることができます．
また，文献によって定義の仕方が異なるのですが，ここではベルヌーイ数を
Ｂr=(2r)!(-1)^(r-1)Ｂ2r(0)
として定義します．たとえば，
Ｂ1=1/6，Ｂ2=1/30，Ｂ3=1/42，Ｂ4=1/30，Ｂ5=5/66，Ｂ6=691/2730
［２］オイラー多項式Ｅs(x)
Ｅ0(x)=1/2，Ｅ2k(0)=0，Ｅ's(x)=Ｅs-1(x)
を満たすｓ次対称多項式をオイラー多項式Ｅs(x)として帰納的に定義します．また，タンジェント数を
Ｔr=(2r-1)!2^2r(-1)^(r-1)Ｅ2r-1(0)
で定義しておきます．
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【４】ベルヌーイ数
ベルヌーイ数は，数多くの魅惑的な整数論的特性をもっていて，元来はベキ乗和の公式
Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s
を求めるために１７１３年に考案されたものですが，次のようなベキ級数展開に現れる係数として定義されます．
ｘ／（１−ｅｘｐ(-x)）＝１＋１／２ｘ＋Σ(-1)^(k-1)Ｂk／（２ｋ）！ｘ^2k
ｘ／（ｅ^x−１）＝ΣＢnｘ^n／ｎ！
＝Ｂ0/0!＋Ｂ1／１！ｘ＋Ｂ2／２！ｘ^2＋Ｂ3／３！ｘ^3＋・・・
容易にわかるように
ｘ／（ｅ^x−１）→１ （ｘ→０）
が成立します．
同じことですが，ベルヌーイ数は
ｘ／ｔａｎｈｘ＝ｘｃｏｓｈｘ／ｓｉｎｈｘ
＝１＋Ｂ1／２！（２ｘ）^2−Ｂ2／４！（２ｘ）^4＋Ｂ6／２！（２ｘ）^6−・・・
あるいは，ｘ／ｔａｎｈｘ＝２ｘ／（ｅｘｐ(2x)−１）＋ｘより，
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）＝１−１／２ｘ＋Ｂ1／２！ｘ^2−Ｂ2／４！ｘ^4＋Ｂ3／６！ｘ^6−・・・
の係数として得られます．
また，定義より，ベルヌーイ級数は，べき級数
（ｅｘｐ(x)−１）／ｘ＝１＋１／２！ｘ1 ＋１／３！ｘ2 ＋１／４！ｘ3 ＋・・・
の反転級数と考えることができます．
ｅｘｐ(x)＝１＋１／１！ｘ＋１／２！ｘ2 ＋・・・
ですから，
ｘ／（ｅｘｐ(x)−１）
=x/(x+x^2/2!+x^3/3!+･･･)
=1/(1+x/2!+x^2/3!+･･･)
=1-(1+x/2!+x^2/3!+･･･)+(1+x/2!+x^2/3!+･･･)^2-･･･
=1-1/2x+1/6x^2-1/30x^4+･･･
ベルヌーイ数については，再帰公式
（Ｂ＋１）^n-Ｂ＾n＝０
が成り立ちます．ただし，２項展開してからＢ^nをＢnで置き換えることにします．
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ベルヌーイ数と似たものにオイラー数やタンジェント数があります．オイラー数は，
ｓｅｃｈｘ＝ΣＥn／ｎ！ｘ^n
＝Ｅ0／０！＋Ｅ2／２！ｘ^2＋Ｅ4／４！ｘ^4＋・・・
で，べき級数
ｃｏｓｈｘ＝１＋１／２！ｘ^2＋１／４！ｘ^4＋１／６！ｘ^6＋・・・
の反転級数として定義されます．
オイラー数では再帰公式
（Ｅ＋１）^n-（Ｅ−１）^n＝０
が成り立ちます．
E0=1,E2=-1,E4=5,E6=-61,E8=1385,E10=-50521,･･･
E1=E3=E5=･･･=0
一方，三角関数：ｔａｎｘのベルヌーイ数を用いた展開
ｔａｎｘ＝Σ(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2nｘ^(2n-1)／（２ｎ）！
におけるｘ^(2n-1)／（２ｎ−１）！の係数
Ｔn＝(-1)^(n-1)２^2n（２^2n−１）Ｂ2n／２ｎ
はタンジェント数と呼ばれる正の整数です．
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