【１】立方体の離散体積とその母関数

　単位立方体を□で表す．それをｔ倍伸長させた立体がｔ□である．ｔ□の離散体積は

　　Ｌ（ｔ）＝＃（ｔ□∩Ｚ^n）＝（ｔ＋１）^n

と書くことができる．

　また，Ｌ（ｔ）の母関数は，オイラー数を用いて

　　１＋ΣＬ（ｔ）ｚ^t＝１＋Σ（ｔ＋１）^nｚ^t＝ΣＡ(n,k)ｚ^k-1／（１−ｚ）^n+1

と書くこともできる．

　Ａ(n,k)は｛１，２，３，・・・，ｎ｝の置換で，その上昇集合がｋ−１個の要素をもつものの数である．

　　ΣＡ(n,k)＝ｎ！

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【２】離散体積から連続体積へ

　母関数

　　（ｈnｚ^n＋ｈn-1ｚ^n-1＋・・・＋ｈ1ｚ＋１）／（１−ｚ）^n+1

に対して，連続体積

　　ｖｏｌＰ＝（ｈn＋ｈn-1＋・・・＋ｈ1＋１）／ｎ！

が成り立つ．ΣＡ(n,k)＝ｎ！より１となる．

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【３】未解決問題

［Ｑ］ｎ次元単位立方体の２^n個の頂点からｎ＋１個を選んだ単体の体積を最大にするにはどのように頂点を選べばよいか？　また，最大体積は？

［Ｑ］ｎ次元単位立方体を単体分割する場合の最小数は？　（この数はｎ≦７に対して知られている）

［Ｑ］ｎ（＞５）次魔方陣の数を決定せよ．

　１から９までの数字を３×３マスにあてはめる３次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ１種類である．１から１６までの数字を４×４マスにあてはめる４次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて８８０種類ある（除かなければ７０４０種類）．１から２５までの数字を５×５マスにあてはめる５次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて２７５３０５２２４種類（約２．７５×１０^8個）あることがわかっている．いまのところ，ｎ≦５の場合しか知られていない．急速に複雑さが増していくのである．ちなみに，合同変換に対して移り合うものを同じものとみなすと６次の魔方陣は約１．７７×１０^19個あることが知られている．それにしてもこんなに多くの組合せ方があるとは驚きである．

　ｎ×ｎ正方行列で各行各列の和が同じになるものを半魔方陣Ｈn，主対角線の和も同じになるものを魔方陣Ｍnと呼ぶと，それぞれの魔方陣の数も母関数の定数項と関連している．魔方陣の数を数え上げる問題の研究は２０世紀になってからようやく始まったものである．→コラム「定数項予想入門」参照

　　［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

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