【１】グリーン・タオの定理（２００４年）

　有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができます．素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」

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【２】素数をわたる積

　ゼータ関数は，オイラーの積表示

　　ζ（ｓ）＝Π（１−ｐ^(-s)）^(-1)

を通して素数分布＝＃｛ｎ｜素数ｐ≦ｘ｝の問題に関係してきます．オイラーはオイラー積表示の関係式を用いて，素数が無限個あること，しかも自然数の中で相当な割合で現れるという事実を証明をしたのですが，これはギリシャ数学の単なる別証ではなく，その後の数学の発展に繋がるものだったのです．

　すべての素数をわたる無限積

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２

　オイラーの証明は次の通り．

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝Π（ｐ^2＋１）（ｐ^2−１）／（ｐ^2−１）^2＝Π（１−１／ｐ4）／（１−１／ｐ^2）^2＝ζ（２）^2／ζ（４）

ここで，

　　ζ（２）＝π^2／６，ζ（４）＝π^4／９０

より，

　　Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／２

　ｐnをｎ番目の素数とするとき，ｍ項までの積

　　Π（ｐn＋１）／（ｐn−１）

が整数になるのは，ｍ＝１，２，３，４，８のとき以外にあるか？

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【３】佐藤の問題？

　ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解

　　ｎ＝３，４，５，７，１５

以外の解を発見することはできなかったという．最近，これ以外の解はないことが証明された．

　エルデシュの問題「ｎ！＋１＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，エルデシュ自身は３組の解，４！＋１＝５^2，５！＋１＝１１^2，７！＋１＝７１^2しかないと予想した．現在のところ有限個の解しかないのかどうかもわかっていない．ｎ！＋１＝ｘ^2の解はｎ＝４，５，７のみか？

　これらの問題の由来はわからないが，

　　「２（２^n−１）＝２^n＋２ｎの整数解を求めよ」

にはれっきとした幾何学的由来がある．グラフを描けばすぐに解は求まるが，この解をグラフを使わないで初等的に求めることはできるだろうか？

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　　２^n−１＝２^n-1＋ｎ

　　２^n-1＝ｎ＋１

［１］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ２）

　　ｎ＞１のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝２ｍ−１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［２］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ４）

　　ｎ＞２のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝４ｍ−１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［３］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ８）

　　ｎ＞３のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝８ｍ−１

　　ｎ＝３のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

［４］２^n-1＝ｎ＋１　　（ｍｏｄ１６）

　　ｎ＞４のとき，０＝ｎ＋１　→　ｎ＝１６ｍ−１

　　ｎ＝４のとき，８≠ｎ＋１

　　ｎ＝３のとき，４＝ｎ＋１

　　ｎ＝２のとき，２≠ｎ＋１

　　ｎ＝１のとき，１≠ｎ＋１

となって（ＮＧを除去すれば）ｎ＝３であることが示される．

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