【１】素数もいろいろ
［１］カニンガム素数
ｐ，２ｐ＋１の両方とも素数である素数ｐをソフィー・ジェルマン素数と呼ぶ．無限に存在すると予想されているが，証明されていない．対応する形ｐ，２ｐ−１の両方とも素数であるようなカニンガム素数は無限に存在するか？
［２］ウォルステンホルム素数
ｐ＞３が素数ならば，既約分数
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子はｐ^2で割り切れる．ｐ＞３が素数ならば
Ｓ＝（（ｐ−１）！）^2（１＋１／２^2＋１／３^2＋・・・＋１／（ｐ−１）^2）
はｐで割り切れる．
同様に，ｐが素数でｐ＞５であるときに限り，
１＋１／２^3＋１／３^3＋・・・＋１／（ｐ−１）^3
の分子はｐ^2で割り切れる．ｐが素数でｐ＞７であるときに限り，
１＋１／２^4＋１／３^4＋・・・＋１／（ｐ−１）^4
の分子はｐで割り切れる．
１８１９年，バベッジは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^2）
に気づきましたが，１８６２年，ウォルステンホルムは
（２ｐ−１，ｐ−１）＝１ （ｍｏｄ ｐ^3）
を証明したことになります．
１＋１／２＋１／３＋・・・＋１／（ｐ−１）
の分子をウォルステンホルム数と呼びますが，ウォルステンホルムの定理は
（２ｐ−１，ｐ）＝１ （ｍｏｄ ｎ^3）
が成り立つことを主張するものです．
そこで，もし
（２ｐ−１，ｐ）＝１ （ｍｏｄ ｐ^4）
が成り立つとき，ｐをウォルステンホルム素数と呼ぶことにしましょう．
マッキントッシュはベルヌーイ数Ｂp-3の分子を割り切る素数はウォルステンホルム素数であることを示しました．ウォルステンホルム素数でいまのところ既知のものは１６８４３と２１２４６７９だけです．ｐ＝１６８４３，２１２４６７９はＢp-3の分子を割り切るのです．
ウォルステンホルム素数は無限に存在し，どれも
（２ｐ−１，ｐ）＝１ （ｍｏｄ ｐ^5）
を満たさないと予想されています．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【２】素数定理もいろいろ
ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．
［１］双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，
πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2
ただし，ｐを３以上の素数として
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３２・・・
と予想されています．
［２］１０を原始根とする素数，たとえば，
７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・
の密度について，アルティンは
π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想しています．
ただし，ｐを素数として，Ｃは
Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）
［３］ｎ^2＋１型素数
πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．
Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））
ｎ^2＋１＝０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝１
ｎ^2＋１≠０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝−１
Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【３】ゴールドバッハ予想
ゴールドバッハ予想（４より大きいすべての偶数ｎは２つの奇素数の和で表すことができる）に関連して，偶数ｎを２つの奇素数の和で表す表し方の数をＮ2（ｎ）とするとき，
Ｎ2（ｎ）〜Ｃｎ／（ｌｏｇｎ）^2Π（（ｐ−１）／（ｐ−２））
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝２＝１．３２０３２・・・
で与えられるだろうと予想されています．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【４】平方数の和（ランダウ・ラマヌジャン定数）
すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．
ゴールドバッハ予想の素数のところを平方数で置き換えた類似問題：２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に
ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2 （ｘ→∞）
Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・
ｐは４ｎ＋３型素数をわたる
が成り立つことを証明しました．
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
【５】マルコフ方程式
マルコフ方程式：ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚは（１，１，１）（１，１，２）なる解をもち，（１，２，５）（１，５，１３）（２，５，２９）などすべての解はこの２つから生成される．
ｘ1^2＋ｘ2^2＋・・＋ｘn^2＝ａｘ1ｘ2・・・ｘnは，ａ＞ｎのとき解は存在せず，ａ＝ｎのときすべての解は（１，１，・・・１）から生成される．１≦ａ≦ｎのとき，任意のａに対し解の有限集合が存在し，他のすべての解を生成する．
それでは，ディオファントス方程式：ｘ^3＋ｙ^3＋ｚ^3＝３は（１，１，１）（４，４，−５）以外の解をもつか？
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝