Ｄ1＝Δ（３，３，・・・，３：ｎ−２）　　　（：のあとは引数の個数）

　　Ｄ2＝Δ（３，３，・・・，３：ｎ−３）

とおくと

　　Δ（４，３，３，・・・，３）＝Ｄ1−ｃ1^2Ｄ2

になる．

　これを使えば

　　Δ（４，３，３，・・・，３）＝n/2^(n-1)-1/2･(n-1)/2^(n-2)=1/2^(n-1)

となるが，ここでは

　　Δ（４，３，３，・・・，３）＝１−σ1＋σ2−σ3＋・・・±σ3[n/2]

　　σ1＝Σｃi^2

　　σ2＝Σｃi^2ｃj^2

　　σ3＝Σｃi^2ｃj^2ｃk^2

と使って計算したい．

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【１】再検討

　（その６６）で失敗したσの計算について再検討する．総和Σをとるための条件がややこしく，間違って同じ条件のものを複数回足し算したり，条件に合うものを足し忘れたりすると正しい結果は得られない．計算が合わないのはそのせいではなかろうか？

　Δ（４，３，３，・・・，３）においては，ｃ1のみがｃ1＝ｃｏｓ（π／４）＝１／√２，ｃ2以降はｃｏｓ（π／３）＝１／２である．よってｃ1を含む和とそうでないものの和に分解して，たとえば，σ2では総和をとるための条件は

　　ｉ＜ｊ−１

であるから

　　σ2＝Σ(i<j-1)ｃi^2ｃj^2＝Σ(1<j-1)ｃ1^2ｃj^2＋Σ(1<i,i<j-1)ｃi^2ｃj^2

＝ｃ1^2Σ(j=2~n-1)ｃj^2＋Σ(1<i,i<j-1)ｃi^2ｃj^2

　また，σ3では総和をとるための条件は

　　ｉ＜ｊ−１，ｊ＜ｋ−１

であるから

　　σ3＝Σ(i<j-1,j<k-1)ｃi^2ｃj^2ｃk^2＝Σ(1<j-1,j<k-1)ｃ1^2ｃj^2ｃk^2＋Σ(1<i,i<j-1,j<k-1)ｃi^2ｃj^2ｃk^2

＝ｃ1^2Σ(1<j-1,j<k-1)ｃj^2ｃk^2＋Σ(1<i,i<j-1,j<k-1)ｃi^2ｃj^2ｃk^2

　すると

　　σ1＝Σｃi^2＝１／２＋（ｎ−２，１）／４

　　σ2＝ｃ1^2Σ(j=2~n-1)ｃj^2＋Σ(1<i,i<j-1)ｃi^2ｃj^2＝１／２・（ｎ−２，１）／４＋（ｎ−３，２）／４^2

　　σ3＝ｃ1^2Σ(1<j-1,j<k-1)ｃj^2ｃk^2＋Σ(1<i,i<j-1,j<k-1)ｃi^2ｃj^2ｃk^2＝１／２・（ｎ−３，２）／４^2＋（ｎ−４，３）／４^3

となって（その６６）に掲げた

　　σ1＝Σｃi^2＝（ｎ−２，１）／４＋１／２

　　σ2＝Σｃi^2ｃj^2＝（ｎ−３，２）／４^2＋１／２・（ｎ−２，１）／４

　　σ3＝Σｃi^2ｃj^2ｃk^2＝（ｎ−４，３）／４^3＋１／２・（ｎ−３，２）／４^2

と同じである．

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【２】再計算

　上部パラメータが負の整数の場合，超幾何関数は有限級数になる．たとえば，　　1Ｆ1(-2,1,x)＝１−２ｘ＋ｘ^2／２

　　2Ｆ1(-2,1,3,x)＝１−２／３ｘ＋ｘ^2／６

　したがって，2F1(-n-1,-1;-n+1:x)は有限級数ではあるが=1にはならない．

　　１−（ｎ＋１）／（ｎ−１）ｘ

ｘ＝−１とおくと

　　１＋（ｎ＋１）／（ｎ−１）＝２ｎ／（ｎ−１）

しかし，それでもなお合わない．

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【３】雑感

　（その６６）では，ｃ1＝ｃｏｓ（π／４）＝１／√２，ｃ2以降はｃｏｓ（π／３）＝１／２としたが，ｃ1＝・・・＝ｃn-2＝ｃｏｓ（π／３）＝１／２，ｃn-1＝ｃｏｓ（π／４）＝１／√２と置き換えた方が混乱しなくて済むかもしれない．

　　Δ（３，３，・・・，３，４）

をｃn-1^2を含む項とそうでない項に分けて，σkを計算すると

　　σ1＝Σｃi^2＝（ｎ−２，１）／４＋１／２

　　σ2＝Σｃi^2ｃj^2＝（ｎ−３，２）／４^2＋１／２・（ｎ−２，１）／４

　　σ3＝Σｃi^2ｃj^2ｃk^2＝（ｎ−４，３）／４^3＋１／２・（ｎ−３，２）／４^2

となって，Δ（４，３，３，・・・，３）の場合と変わらない．したがって，間違いはσkの計算にあることになる．

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