１象限分の直角三角錐の体積は１／ｎ！である．ｎ次元切頂八面体の体積については当初切頂した分を差し引いて

　　１／ｎ！−（１−２／ｎ）^n・ｎ／ｎ！

と考えていたのだが，その後，

　　１／２・（２／ｎ）^n

に変更したことを白状しておく．

　ｎ次元正軸体の切断による体積より，不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

が成り立つことがわかっている．準備が整ったところで，八面体とｎ次元超球の体積を比較してみよう．

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【１】正軸体の外接球と内接球

　ｎ次元正軸体の体積は２^n／ｎ！，その外接球の体積は

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)

であるから，体積比較は

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＞２^n／ｎ！

と書くことができる．

　偶数次元（ｎ＝２ｋ）の場合を考えることにするが，

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)＝π^k/Γ(k+1)＝π^k／ｋ！

　　２^n／ｎ！＝２^2k／（２ｋ）！

　　（２ｋ）！／ｋ！＞（４／π）^k

　　（ｋ＋１）（ｋ＋２）・・・（２ｋ）＞（４／π）^k

　一方，内接球の半径は１／√ｎであるから，

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・１／ｎ^n/2＜２^n／ｎ！

　　（２ｋ）！／ｋ！（２ｋ）^k＜（４／π）^k

　　（２ｋ）！／ｋ！ｋ^k＜（８／π）^k

　　（１＋１／ｋ）（１＋２／ｋ）・・・２＜（８／π）^k

　どちらも自明な不等式であろう．

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【２】ｎ次元切頂八面体の外接球と内接球？

　正軸体の切頂では，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｙ＝（ｎ−２）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−３）／ｓ，・・・，ｗ＝０

となる．したがって，外接球の半径Ｒは

　　Ｒ^2＝ｘ^2＋・・・＋ｗ^2＝（ｎ−１）ｎ（２ｎ−１）／６Ｓ^2

　　　　＝２（２ｎ−１）／３ｎ（ｎ−１）

　一方，内接球というわけではないが，

　　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ

として，（ｘ，０，・・・，０）で接する球の半径ｒはｒ＝２／ｎで与えられる．

　それぞれの体積は

　　π^(n/2)/Γ(n/2+1)・Ｒ^n，π^(n/2)/Γ(n/2+1)・ｒ^n

であるから，ｎ＝２ｋのとき，

　　π^k/ｋ！・｛（４ｋ−１）／３ｋ（２ｋ−１）｝^k

　　π^k/ｋ！・｛１／ｋ｝^2k

　これとｎ次元切頂八面体の体積

　　１／２・（２／ｎ）^n・２^n＝１／２・｛１／ｋ｝^2k・２^2k

を比較すると，ｋが大きくなるにつれて

　　ｎ次元切頂八面体の体積＞内接球？の体積

となることは明らかである．

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