（その１）では，図形的証明のよって

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

を得ることができた．

　左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用したが，そこには明らかにロスがある．そのロスを解消できれば，２→ｅとすることができて，（πの部分を無視すると）漸近的にスターリングの公式を説明できたことにもなるのである．今回のコラムでは図形的証明と初等的証明を比較してみたい．

［補］スターリングの公式にはπが出現しますが，この公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などに用いられます．この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．

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【１】スターリングの公式の初等的証明

　スターリングの公式を誘導してみましょう．

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ＝Σｌｏｇｘ

ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

　ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算されますから，右辺はｘｌｏｇｘ−ｘ＋１となります．したがって，

　　ｎ！≒ｅｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

が得られます．

　この段階ですでに図形的証明の精度を上回っていますが，もっと正確に近似すると

　　∫(0,n)ｌｏｇｔｄｔ<ｌｏｇｎ！<∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より

　　ｎｌｏｇｎ−ｎ<ｌｏｇｎ！<（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ

　したがって，両辺の相加平均に近い（ｎ＋１／２）ｌｏｇｎ−ｎでｌｏｇｎ！を近似できることになり，

　　∫(1,x)ｌｏｇｔｄｔ

　＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｘ−１／２ｌｏｇｘ＋δ

であること，また，ウォリスの公式：

　　√π〜（ｎ！）^2２^2n／（２ｎ）！√ｎ

より，結局，

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

にたどりつきます．

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【２】ウォリスの公式

（証）　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られるから，

　　n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

　　n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

　これより

　　ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

　　(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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