数列｛ａn｝と｛ｂn｝がともに無限大に発散し，差｛ａn−ｂn｝は無限大に発散するが，比｛ａn／ｂn｝は１に近づくという例に，階乗ｎ！とその近似値として使われる公式として有名なスターリングの公式：

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

があります．

　”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｎが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｎの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｎを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束するということです．スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

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【１】ｎ次元正軸体の切頂

　ｎ次元正軸体を切頂して，すべての辺が同じ長さの「ｎ次元切頂八面体」を作ることを考える．正軸体を切頂する場合，すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？　計算方法はコラム「ｎ次元の立方体と直角三角錐（その５７）」に譲って結論を先にいうと，超平面ｘ＝２／ｎで切頂すればよい．

　ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　この超平面はｎが偶数のとき，頂点Ｐn/2-1を通る．正軸体の基本単体の切断のほうが超立方体の基本単体の切断よりも簡単に扱えることがわかった．

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【２】図形的証明

　もとのｎ次元正軸体の１象限の体積は１／ｎ！．また，切頂後２個で１辺の長さ（２／ｎ）の立方体ができるから，不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

が成り立つことがわかる．

　この不等式は，スターリングの不等式から明らかかもしれないが，図形的に示すことができることは面白いだろう．

　もし，この不等式を直接的に証明するならば

　　ｎ！≦２（ｎ／２）^n

　　ｎ！／ｎ^n≦１／２^n-1

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

であることを証明すればよい．

　左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると

　　左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n

ここで，

　　（１＋１／ｎ）^n

は増加数列で

　　２≦（１＋１／ｎ）^n≦ｅ

あることがいえるので，ｎ！≦２（ｎ／２）^nが証明されたことになる．

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【３】雑感

　スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

は面白い公式で，たとえば，

　　ｎ！／ｎ^n　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ　〜　√（２πｎ）／ｅ^n

として，全体のｎ乗根をとればｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／ｅに近いことがわかるだろう．あるいは

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

より，ｋ／ｎの相乗平均が大まかに１／２に近いといったほうがいいかもしれない．

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