シュレーフリの記号（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）で表されるｎ次元正多面体の基本単体の基本行列の固有多項式の値を考える．とくに，正単体については

　　Δ（３，３，・・・，３）＝１−（ｎ−１，１）／４＋（ｎ−２，２）／４^2−（ｎ−３，３）／４^3＋・・・＝Σ（−１）^k（ｎ−ｋ，ｋ）／４^k

となる．これを閉じた形に表すことはできないのだろうか？

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　与式はｋ＝０から始まるので第０項から始まるように，パラメータをずらす必要はない．級数Σ（−１）^k（ｎ−ｋ，ｋ）／４^kの項比は

　　ａk+1/ａk=-(n-2k)(nｰ2k-1)/4(n-k)(k+1)=(k-n/2)(k-(n-1)/2)/(k-n)(k+1)

であるから，

　　ａ0*2Ｆ1(-n/2,-(n-1)/2;-n;1)

また，ａ0=1より

　　2Ｆ1(-n/2,-(n-1)/2;-n:1)

これより，超幾何級数であると同定される．ここで，参考文献にある公式を活用しよう．

　　2Ｆ1(a,a+1/2;c:x)=(2/(1+(1-x)^(1/2)))^(2a)*2F1(2a,2a-c+1;c:y)

　　y={1-(1-x)^1/2}/{1+(1-x)^1/2}

において，ａ＝−ｎ／２，ｃ＝−ｎ，ｘ＝１

　　2Ｆ1(-n/2,-(n+1)/2;-n:1)=2^(-n)*2F1(-n,1;-n:1)

　2F1(-n,1;-n:x)は1F0(1;x)=1/(1-x)とは等しくなく，有限級数

　　1+x+x^2+x^3+･･･+x^n=(1-x^n+1)/(1-x)

であるから

　　2Ｆ1(-n/2,-(n-1)/2;-n:1)=(n+1)/2^n

　なお，（交代級数でなく）正項級数の場合は

　　１＋（ｎ−１，１）／４＋（ｎ−２，２）／４^2＋（ｎ−３，３）／４^3＋・・・＝Σ（ｎ−ｋ，ｋ）／４^k＝2Ｆ1(-n/2,-(n-1)/2;-n:-1)

y={1-(2)^1/2}/{1+(2)^1/2}=２√２−３として

　　（２／（１＋√２））^(-n)(1-y^n+1)/(1-y)

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　また，Δは漸化式

　　Δ（ｐ1，ｐ2，・・・，ｐn-1）＝Δ（ｐ2，・・・，ｐn-1）−Δ（ｐ3，・・・，ｐn-1）ｃｏｓ^2（π／ｐ1）

で順次作ることができて，正軸体・立方体では，正単体の結果を用いて

　　Δ（３，３，・・・，４）＝Δ（４，３，・・・，３）

　＝Δ（３，３，・・・，３）−Δ（３，・・・，３）／２

　＝n/2^(n-1)-1/2･(n-1)/2^(n-2)=1/2^(n-1)

　空間充填形については，この結果を用いて

　　Δ（４，３，・・，３，４）

　＝Δ（３，３，・・・，４）−Δ（３，・・・，４）／２

　＝1/2^(n-2)-1/2･1/2^(n-3)=0

となる．これらについては後日，追加報告したい．

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