【１】２元１次形式による整数の表現とシルヴェスターの定理

　互いに素な２つの整数ａ1，ａ2が与えられたとき，非負整数が存在して

　　ｍ1ａ1＋ｍ2ａ2＝ｎ

が成り立つことは，硬貨の言葉に置き換えるとａ1円玉とａ2円玉を用いてｎ円が支払えることを意味する．どの額が支払えるか，支払えない最高額はいくらかという問題が考えられるところである（この問題はフロベニウスの硬貨交換問題と呼ばれる）．

　支払えない最高額をフロベニウス数と呼び，ｇ（ａ1，ａ2）で表される．

　　ｇ（ａ1，ａ2）＝ａ1ａ2−ａ1−ａ2＝（ａ1−１）（ａ2−１）−１

で与えられ，１と（ａ1−１）（ａ2−１）の間にある整数のちょうど半数が表現可能である．たとえば，ａ1＝４，ａ2＝７の場合，ｇ（ａ1，ａ2）＝１７で，表現不可能な整数の数は（ａ1−１）（ａ2−１）／２＝９となる．

　シルヴェスターの定理の証明は母関数

　　ｆ（ｚ）＝１／（１−ｚ^a1）（１−ｚ^a2）ｚ^n

の定数項と関連しているが，硬貨が３枚以上になると格段複雑になり，ｎ元１次形式に対する公式はほとんど成功しなかった．ｎ＝３の場合は，セルマー・ベイヤーによって明示的な形で解決されたが，ｎ≧４の場合には一般的な公式は知られていない．

　なお，１から９までの数字を３×３マスにあてはめる３次魔方陣は回転や鏡映をのぞいてただ１種類である．１から１６までの数字を４×４マスにあてはめる４次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて８８０種類ある．１から２５までの数字を５×５マスにあてはめる５次魔方陣は回転や鏡映をのぞいて２７５３０５２２４種類あることがわかっている．急速に複雑さが増していくのである．

　ｎ×ｎ正方行列で各行各列の和が同じになるものを半魔方陣Ｈn，主対角線の和も同じになるものを魔方陣Ｍnと呼ぶと，それぞれの魔方陣の数も母関数の定数項と関連している．魔方陣の数を数え上げる問題の研究は２０世紀になってからようやく始まったものである．→コラム「定数項予想入門」参照

　　［参］ベック，ロビンズ「離散体積計算による組合せ数学入門」シュプリンガー・ジャパン

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【２】メルカトールの５３音階平均律

　２：１のオクターブの代わりに，周波数比３：１を（１２ではなく）１３等分割する新しい音階も提唱されています．

　この音階では５と７の１３乗が３の整数乗に非常に近いところから由来していて，整数比５：３，７：５，９：７から３^(k/13)をすばらしく近似した音階を構成することができます．

　　５^13　〜　３^19，　７^13　〜　３^23

　また，ピタゴラスの完全５度は３／２倍の周波数になっているのですが，２のベキおよび３のベキが僅差になる例として，Ｅｂに対するＤ＃の比

　　３^12／２^19〜１＋１／７３

があげられます．

　ｌｏｇ2３の連分数展開

　　１９／１２，６５／４１，８４／５３，・・・

であることから，オクターブが都合よく１２音階平均律，４１音階平均律，５３音階平均律に分割されることが示されます．５３音階平均律系はメルカトールによるものです．

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