【１】ウェアリングの問題とヨハン・アルブレヒト・オイラーの不等式
１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，
「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」
ことを証明抜きで主張しました（９三乗数定理，１９四乗数定理）．これが，有名なウェアリングの問題です．
ｇ（２）＝４はラグランジュにより，ｇ（３）＝９はヴィーフェリッヒによって証明されました（１９０９年）．ウェアリングの問題は２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって
「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」
ことが肯定的に証明されています．
ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k
ヒルベルトはｇ（ｋ）の値がｋのみによって表されることを証明したのですが，それはｇ（ｋ）の存在のみを証明したのであって具体的な値を決める方法を示したものではありませんでした．
１８５９年，リューヴィルはｇ（４）≦５３を示しました．ｇ（４）＝１９ですからこの結果は実際とはかなり隔たりがあるのですが，ｇ（４）の限界を与える方法を初めて示したことになります．そのあたりからいろいろな研究がなされることになりました．そして，１９四乗数定理：
「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」
は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題（１８世紀）も２００年以上かかって解決されたことになります．
なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．実は，ガウス記号を用いて
ｇ（ｋ）＝［（３／２）^k］＋２^k−２
の式が正しいだろうと予想されています．１≦ｋ≦１０では
ｋ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ 10
下界 １ ４ ９ 19 37 73 143 279 548 1079
となり，ここに示した値はすべてこの式を満たし，かなりの範囲のところまで正しいことが確認されます．
１１≦ｋ≦１７では
ｋ １１ １２ １３ １４ １５ １６ １７
下界 2132 4223 8384 16673 33203 66190 132055
ｇ（ｋ）≧［（３／２）^k］＋２^k−２
の不等式を証明したのはオイラーの息子，ヨハン・アルブレヒト・オイラー（１７７２年）で，この式では等号が成立すると予想されているのです．
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【２】ラマヌジャンの問題とエルデシュの問題
ラマヌジャンの問題「２^n−７＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，ｎ＝１０^40までコンピュータ検索したが，ラマヌジャン自身が示した解
ｎ＝３，４，５，７，１５
以外の解を発見することはできなかったという．最近，これ以外の解はないことが証明された．
エルデシュの問題「ｎ！＋１＝ｘ^2の整数解を求めよ」について，エルデシュ自身は３組の解，４！＋１＝５^2，５！＋１＝１１^2，７！＋１＝７１^2しかないと予想した．現在のところ有限個の解しかないのかどうかもわかっていない．ｎ！＋１＝ｘ^2の解はｎ＝４，５，７のみか？
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【３】ガウスの円問題
原点を中心とした半径ｒの円の内部（境界を含む）にある整数点の個数をＲ（ｒ）で表す．
Ｒ（１０）＝３１７ Ｒ（１００）＝３１４１７
Ｒ（２０）＝１２５７ Ｒ（２００）＝１２５６２７
Ｒ（３０）＝２８２１ Ｒ（３００）＝２８２６９７
Ｒ（ｒ）は円の面積の推定値を与える．
ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2 ｒ Ｒ（ｒ）／ｒ^2
１０ ３．１７ １００ ３．１４１７
２０ ３．１４２５ ２００ ３．１４０７２５
３０ ３．１３４ ３００ ３．１４１０７
ガウスは
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ
を示したが，
｜Ｒ（ｒ）−πｒ^2｜＜ｃｒ^k
となるｋの最小値を求める問題に一般化される．
シェルピンスキーはｋ≦２／３を証明し，ガウスのｋ＝１を大きく改善した．ヴィノグラードフはｋ≦３４／５３，１９６３年に陳景潤はｋ≦２４／３７を，１９９０年にハクスリーはｋ≦４６／７３を得たが，シェルピンスキーの成果からほんのわずかしか進んでいない．最近，ハクスリーは４６／７３を１３１／２０８に改良している．
下の値は１９１５年，ハーディとランダウが与えたｋ＝１／２と予想されている．同じ問題を３次元球についても考えることができる．→コラム「平面上の格子点」参照
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