ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体は，オイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たす．偶数次元のオイラー・ポアンカレの公式は定数項がない同次式である．
同次式を避けるために，ｎ次元面ｆn＝１を加えると
ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＋（−１）^nｆn＝１
Σ(0,n)（−１）^jｆj＝１
が成り立つ．
この定理（ｎ次元多面体の構成要素数：オイラー関係式）は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立する．たとえば，ｎ＝２についてはｖ＝ｅ，ｎ＝３についてはｖ−ｅ＋ｆ＝２となるが，凸多面体に関する最も有名な公式であろう．
今回のテーマは，置換多面体｛３，３，・・・，３｝（１，１，・・・，１，１｝およびその正軸体版｛３，３，・・・，４｝（１，１，・・・，１，１｝対する面数公式である．
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【１】ｆ0，ｆ1とｆn-1
ひとつの辺を構成する頂点数をｋ1（常に２），ひとつの面を構成する辺数をｋ2，・・・，ひとつのｎ次元多胞体を構成する（ｎ−１）次元胞数をｋnで表すと
ｎ次元正（ｎ＋１）胞体＝｛２，３，４，・・・，ｎ＋１｝
ｎ次元正２ｎ胞体＝｛２，４，６，・・・，２ｎ｝
ｎ次元正２^n胞体＝｛２，３，４，・・・，ｎ，２^n｝
となる．
頂点数ｆ0は対称領域への分割数Πｋjで表されるから，それぞれの基本単体数ｇと等しくなり，置換多面体の頂点数は（ｎ＋１）！，その正軸体版の頂点数は２^n・ｎ！となる．
また，（ｎ−１）次元胞数は，それぞれ
Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２^n−１）
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝３^n−１
である．→（その６０）参照
また，単純多面体（頂点の次数はｎ）であるから
２ｆ1＝ｎｆ0
が成り立つ．
［１］置換多面体
ｆ0＝（ｎ＋１）！
ｆ1＝ｎ／２・ｆ0
ｆn-1＝２（２^n−１）
ｎ＝２ → ｆ0＝６，ｆ1＝６
ｎ＝３ → ｆ0＝２４，ｆ1＝３６，ｆ2＝１４
［２］正軸体版
ｆ0＝２^n・ｎ！
ｆ1＝ｎ／２・ｆ0
ｆn-1＝３^n−１
ｎ＝２ → ｆ0＝８，ｆ1＝８
ｎ＝３ → ｆ0＝４８，ｆ1＝７２，ｆ2＝２６
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【２】デーン・サマービル関係式
各頂点がｎ本の辺上にあるｎ価のｎ次多面体（単純多面体）に対しては，デーン・サマービル関係式
ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj
が成り立つ．
単純ｎ次多面体に対して，与えられたｊ次面を含むｋ次面の数は（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）になる．ｋ＝ｎのときがオイラー関係式であるが，オイラー関係式は単純多面体だけでなく任意の多面体に対して成り立つ．
デーンは１９０５年に５次元においてこの関係式を証明した．およそ２０年後の１９２７年，サマービルが一般の場合を証明した．
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［補］単純多面体に対しては，デーン・サマービル関係式
ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj
単体的多面体に対しては，デーン・サマービル関係式
ｆk-1＝Σ(k,n)（−１）^n-j（ｊ，ｋ）ｆj-1
が成り立つ．そして，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
をうまく並べるとパスカルの三角形に似た再帰公式が得られる．
［参］ツィーグラー「凸多面体の数学」シュプリンガー・フェアラーク東京
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【３】ｆk
ｆk＝Σ(0,k)（−１）^j（ｎ−ｊ，ｎ−ｋ）ｆj
において，ｋ＝１とおくと
ｆ1＝（ｎ−０，ｎ−１）ｆ0−ｆ1＝ｎｆ0−ｆ1
→ｆ1＝ｎｆ0／２
同様に
ｆ2＝（ｎ−０，ｎ−２）ｆ0−（ｎ−１，ｎ−２）ｆ1＋ｆ2＝ｎ（ｎ−１）／２ｆ0−（ｎ−１）ｆ1＋ｆ2
→ｆ1＝ｎｆ0／２，ｆ2は不明
ｆ3＝（ｎ−０，ｎ−３）ｆ0−（ｎ−１，ｎ−３）ｆ1＋（ｎ−２，ｎ−３）ｆ2−ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／２ｆ1＋（ｎ−２）ｆ2−ｆ3
→ｆ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／１２ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）／４ｆ1＋（ｎ−２）／２ｆ2
→ｆ3＝−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／２４ｆ0＋（ｎ−２）／２ｆ2
ｆ4＝（ｎ−０，ｎ−４）ｆ0−（ｎ−１，ｎ−４）ｆ1＋（ｎ−２，ｎ−４）ｆ2−（ｎ−３，ｎ−４）ｆ3＋ｆ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４ｆ0−（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／６ｆ1＋（ｎ−２）（ｎ−３）／２ｆ2−（ｎ−３）ｆ3＋ｆ4
→−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４ｆ0＋（ｎ−２）（ｎ−３）／２ｆ2−（ｎ−３）ｆ3＝０に
ｆ3＝−ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／２４ｆ0＋（ｎ−２）／２ｆ2
を代入すると０＝０．→どこかおかしい？？？
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