【１】オイラー・ポアンカレの定理
２次元では，
ｖ－ｅ＝０，ｖ≧３，ｅ≧３
を満たす凸ｖ角形（凸ｅ角形）が存在する．
３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，
ｖ－ｅ＋ｆ＝２ （オイラーの多面体定理）
が成り立つ．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，数学の１０大定理の１つに挙げられるものである．
それに対して，４次元では
ｖ－ｅ＋ｆ－ｃ＝０ （シュレーフリ，１８５２年）
である．
なお，
ｖ－ｅ＋ｆ－ｃ＋ｇ－ｈ＋ｉ－・・・＝１－（－１）^n
と一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理である．右辺はｎが奇数のとき２，偶数のとき０になる．
ｆiをｎ次元多面体のｉ次元面の数とすると，
ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，・・・
ここで，
ｆn＝１（多面体内部のｎ次元空間），ｆ-1＝１（空集合）
と定めると，オイラー・ポアンカレの定理は，
－ｆ-1＋ｆ0－ｆ1＋ｆ2－・・・＋（－１）^(n-1)ｆn-1＋（－１）^nｆn＝０
で表されることになる．
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【２】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理
ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，
（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）
を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．
たとえば，正単体では
ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
なのですが，ｋ＝ｎ－１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．
同様に，正軸体では
ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２^n
立方体では
ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ－１のとき，ｆk＝２ｎ
となります．
もちろん，
正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）
正軸体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）
立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）
はオイラー・ポアンカレの定理：
ｆ0－ｆ1＋ｆ2－・・・＋（－１）^(n-1)ｆn-1＝１－（－１）^n
すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．
［１］正単体
ｎ＝３：４－６＋４＝２
ｎ＝４：５－１０＋１０－５＝０
ｎ＝５：６－１５＋２０－１５＋６＝２
ｎ＝６：７－２１＋３５－３５＋２１－７＝０
［２］正軸体・立方体
ｎ＝３：６－１２＋８＝２
ｎ＝４：８－２４＋３２－１６＝０
ｎ＝５：１０－４０＋８０－８０＋３２＝２
ｎ＝６：１２－６０＋１６０－２４０＋１９２－６４＝０
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【３】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理の双対？
オイラー・ポアンカレの定理は交代和
Σ（－１）^k（ｎ＋１，ｋ＋１）
Σ（－１）^k（ｎ，ｋ）２^(n-k)
Σ（－１）^k（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
であったが，ここでは正項の和
Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)
Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
を考える．
Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２^n－１） k=：0~n-1
ｎ＝３：４＋６＋４＝１４＝２（２^3－１）
ｎ＝４：５＋１０＋１０＋５＝３０＝２（２^4－１）
ｎ＝５：６＋１５＋２０＋１５＋６＝６２＝２（２^5－１）
ｎ＝６：７＋２１＋３５＋３５＋２１＋７＝１２６＝２（２^5－１）
は二項定理より簡単に導き出せるからよいにしても
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)
を閉じた形に表すことはできないのだろうか？
与式はｋ＝０から始まるので第０項から始まるように，パラメータをずらす必要はない．級数Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)の項比は
ａk+1/ａk=2*(n-k)/(k+1)=-1/2*(k-n)/(k+1)
であるから，
ａ0*1Ｆ0(-n;-1/2)
また，ａ0=2^nより
2^n*1Ｆ0(-n;-1/2)
これより，超幾何級数であると同定される．ここで，参考文献にある公式を活用しよう．この超幾何級数は二項級数に帰着され
1Ｆ0(a;x)=(1-x)^(-a)
2^n*1Ｆ0(-n;-1/2)=2^n*(3/2)^n=3^n
ｋ＝ｎの場合を差し引いて
Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝３^n－１
正軸体は立方体の双対であるから，正軸体・立方体ともに
ｎ＝３：６＋１２＋８＝２６＝３^3－１
ｎ＝４：８＋２４＋３２＋１６＝８０＝３^4－１
ｎ＝５：１０＋４０＋８０＋８０＋３２＝２４２＝３^5－１
ｎ＝６：１２＋６０＋１６０＋２４０＋１９２＋６４＝７２８＝３^6－１
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［補］なお，級数Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)の項比は
ａk+1/ａk=2*(n-k-1)/(k+2)
となって，パラメータをずらす必要を生ずる．
ａk/ａk-1=2*(n-k)/(k+1)=-2*(k-n)/(k+1)
であるから，
ａ-1*1Ｆ0(-n;-2)
また，ａ-1=1と約束すると
1Ｆ0(-n;-2)=3^n
Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝３^n－１
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