【１】オイラー・ポアンカレの定理

　２次元では，

　　ｖ−ｅ＝０，ｖ≧３，ｅ≧３

を満たす凸ｖ角形（凸ｅ角形）が存在する．

　３次元凸多面体の頂点，辺，面の数をそれぞれｖ，ｅ，ｆとすると，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２　　（オイラーの多面体定理）

が成り立つ．これは３次元立体について，０次元の特性数であるｖ，１次元の特性数であるｅ，２次元の特性数であるｆの関係を述べたものと解釈され，数学の１０大定理の１つに挙げられるものである．

　それに対して，４次元では

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＝０　　　（シュレーフリ，１８５２年）

である．

　なお，

　　ｖ−ｅ＋ｆ−ｃ＋ｇ−ｈ＋ｉ−・・・＝１−（−１）^n

と一般化したものがオイラー・ポアンカレの定理である．右辺はｎが奇数のとき２，偶数のとき０になる．

　ｆiをｎ次元多面体のｉ次元面の数とすると，

　　ｆ0＝ｖ，ｆ1＝ｅ，ｆ2＝ｆ，・・・

ここで，

　　ｆn＝１（多面体内部のｎ次元空間），ｆ-1＝１（空集合）

と定めると，オイラー・ポアンカレの定理は，

　　−ｆ-1＋ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＋（−１）^nｆn＝０

で表されることになる．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理

　ｆkをｎ次元多面体のｋ次元面の数とし，

　　（ｆ0，ｆ1，・・・，ｆn-2，ｆn-1）

を構成要素とするｎ次元正多胞体では，組み合わせ的方法によって，ｋ次元胞数ｆkが求められます．

　たとえば，正単体では

　　ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

なのですが，ｋ＝ｎ−１のときｆk＝ｎ＋１であって，胞数はｎ＋１と計算されます．

　同様に，正軸体では

　　ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２^n

立方体では

　　ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ），ｋ＝ｎ−１のとき，ｆk＝２ｎ

となります．

　もちろん，

　　正単体：ｆk＝（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　正軸体：ｆk＝２^k+1（ｎ，ｋ＋１）

　　立方体：ｆk＝２^n-k（ｎ，ｋ）

はオイラー・ポアンカレの定理：

　　ｆ0−ｆ1＋ｆ2−・・・＋（−１）^(n-1)ｆn-1＝１−（−１）^n

すなわち，ｎが奇数なら２，偶数なら０を満たします．この定理は正多胞体に限らず，ｎ次元凸多胞体について常に成立します．

［１］正単体

ｎ＝３：４−６＋４＝２

ｎ＝４：５−１０＋１０−５＝０

ｎ＝５：６−１５＋２０−１５＋６＝２

ｎ＝６：７−２１＋３５−３５＋２１−７＝０

［２］正軸体・立方体

ｎ＝３：６−１２＋８＝２

ｎ＝４：８−２４＋３２−１６＝０

ｎ＝５：１０−４０＋８０−８０＋３２＝２

ｎ＝６：１２−６０＋１６０−２４０＋１９２−６４＝０

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【３】正多胞体におけるオイラー・ポアンカレの定理の双対？

　オイラー・ポアンカレの定理は交代和

　　Σ（−１）^k（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　Σ（−１）^k（ｎ，ｋ）２^(n-k)

　　Σ（−１）^k（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

であったが，ここでは正項の和

　　Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）

　　Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)

　　Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

を考える．

　　Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２^n−１）　　　k=：0~n-1

ｎ＝３：４＋６＋４＝１４＝２（２^3−１）

ｎ＝４：５＋１０＋１０＋５＝３０＝２（２^4−１）

ｎ＝５：６＋１５＋２０＋１５＋６＝６２＝２（２^5−１）

ｎ＝６：７＋２１＋３５＋３５＋２１＋７＝１２６＝２（２^5−１）

は二項定理より簡単に導き出せるからよいにしても

　　Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)

を閉じた形に表すことはできないのだろうか？

　与式はｋ＝０から始まるので第０項から始まるように，パラメータをずらす必要はない．級数Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)の項比は

　　ａk+1/ａk=2*(n-k)/(k+1)=-1/2*(k-n)/(k+1)

であるから，

　　ａ0*1Ｆ0(-n;-1/2)

また，ａ0=2^nより

　　2^n*1Ｆ0(-n;-1/2)

これより，超幾何級数であると同定される．ここで，参考文献にある公式を活用しよう．この超幾何級数は二項級数に帰着され

　　1Ｆ0(a;x)=(1-x)^(-a)

　　2^n*1Ｆ0(-n;-1/2)=2^n*(3/2)^n=3^n

ｋ＝ｎの場合を差し引いて

　　Σ（ｎ，ｋ）２^(n-k)＝３^n−１

　正軸体は立方体の双対であるから，正軸体・立方体ともに

ｎ＝３：６＋１２＋８＝２６＝３^3−１

ｎ＝４：８＋２４＋３２＋１６＝８０＝３^4−１

ｎ＝５：１０＋４０＋８０＋８０＋３２＝２４２＝３^5−１

ｎ＝６：１２＋６０＋１６０＋２４０＋１９２＋６４＝７２８＝３^6−１

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

［補］なお，級数Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)の項比は

　　ａk+1/ａk=2*(n-k-1)/(k+2)

となって，パラメータをずらす必要を生ずる．

　　ａk/ａk-1=2*(n-k)/(k+1)=-2*(k-n)/(k+1)

であるから，

　　ａ-1*1Ｆ0(-n;-2)

また，ａ-1=1と約束すると

　　1Ｆ0(-n;-2)=3^n

　　Σ（ｎ，ｋ＋１）２^(k+1)＝３^n−１

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝