これまでは超立方体の基本単体の切断によって，高次元における平行多面体の元素を得ていたが，４次元以上でも平行２（２^n−１）面体の頂点の座標が計算できるようになったことで大きく前進することができた．

　３次元では５種類の平行多面体をペンタドロンという１種類の元素から構成することができる．３次元の場合うまくいきすぎている感があるのだが，３次元のもつ特殊性の理由はなぜかを解明することができたのである．

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【１】超立方体・正軸体の切頂型

　立方体は単独で空間全体を格子状に埋めつくすことができる．単純立方格子状配置，すなわち角砂糖の箱の封を切ったときに見えるパターンについてはこれ以上説明するまでもないだろう．３次元空間を立方体で格子状に充填しておく．そのあと各頂点の周りを少しずつ切頂していくと，

　立方体→切頂立方体→立方八面体→old Korean dice→切頂八面体→正八面体

のように遷移する．

　切頂立方体→立方八面体→old Korean dice→切頂八面体の遷移の間，すっと１４面体であるが，切頂八面体のとき，隙間も同形になり，切頂八面体は空間充填図形であることがわかる．１４は立方体（正八面体）の面数＋頂点数である．

　ｎ次元の立方体（頂点数２^n）の全頂点を

　　超平面：ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２

で一斉に２^n個切り落として残る図形を考えてみよう．この図形は２^n＋２ｎ面体になるが，ｎが偶数のとき，この超平面はｎ／２次元面の中心を通る．その結果，

　　｛３，４｝（１，１，０）＝１４面体（Ｐ1とＰ2の間を通る）

　　｛３，４｝（０，１，０，０）＝正２４胞体（Ｐ2を通る）

　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）＝４２胞体（Ｐ2とＰ3の間を通る）

　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）＝７６胞体（Ｐ3を通る）

も空間充填図形であることがわかる．

　ｎ次元の正軸体（頂点数２ｎ）の全頂点を

　　超平面：ｘ＝２／ｎ

で一斉に２ｎ個切り落として残る図形を考えてみよう．この図形は２^n＋２ｎ面体になるが，ｎが偶数のとき，この超平面がｎ／２−１次元面の中心を通ることは超立方体の切頂型よりも簡単にわかる．

　正軸体の切頂型，たとえば，正１６胞体を２４本の辺の中点で切った残りは２４胞体である．

　　｛３，４｝（１，１，０）＝１４面体（Ｐ0とＰ1の間を通る）

　　｛３，４｝（０，１，０，０）＝正２４胞体（Ｐ1を通る）

　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）＝４２胞体（Ｐ1とＰ2の間を通る）

　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）＝７６胞体（Ｐ2を通る）

正軸体の基本単体の切断のほうが超立方体の基本単体の切断よりも簡単に扱えるのである．

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【２】正単体の切頂・切稜型

　　Σ（ｎ＋１，ｋ＋１）＝２（２^n−１）

より，平行２（２^n−１）面体はｎ次元正単体の切頂・切稜型として構成することができる．

　　２次元置換多面体：｛３｝（１，１）→六角形

　　３次元置換多面体：｛３，３，３｝（１，１，１）→１４面体

　　４次元置換多面体：｛３，３，３｝（１，１，１，１）→３０胞体

　　５次元置換多面体：｛３，３，３，３｝（１，１，１，１，１）→６２胞　　６次元置換多面体：｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）→１２６胞体

　また，頂点数（ｎ＋１）！で（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影になっている平行２（２^n−１）面体を構成するには，置換多面体（permutahedron）を考えるのが有効である．

　すなわち，２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．置換多面体はｖn＝（ｎ＋１）！個の頂点とｃn＝２（２^n−１）個のｎ−１次元胞をもつ．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体である．

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【３】まとめ

［１］ｎ次元立方体の基本単体の切断体

［２］ｎ次元正単体の基本単体の切断体

はプロポーションは異なるが，いずれも胞数（ｎ＋２）の多胞体である（２次元では３角形）．

　３次元では［１］［２］は同形となるが，これらはｎ≧４では別物と考えられる．そのように考えられる理由は

　　２^n＋２ｎ＝２（２^n−１）

が一致するのは，ｎ＝３のときだけだからである．

　［１］は２・２^n・ｎ！個で立方体（２ｎ面体），２^n・ｎ！個で（２^n＋２ｎ）面体，［２］は２・（ｎ＋１）！個で平行２（２^n−１）面体を構成することができる．

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【４】雑感

　正２４胞体は菱形十二面体の拡張であるとともに，切頂八面体の拡張でもある．立方体の切稜型から平行多面体を構成することはできないだろうか？

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