［１］シュタイナーの問題：

　　ｙ＝ｘ^(1/x)の最大値を求めよ．

ｌｏｇｙ＝（ｌｏｇｘ）／ｘ

ｙ'／ｙ＝（１−ｌｏｇｘ）／ｘ^2

ｙ’＝（１−ｌｏｇｘ）ｘ^(1/x-2)より，ｙ＝ｘ^(1/x)は，ｘ＝ｅのとき，最大値ｅ^(1/e)＝１．４４４６・・・をとる．

［２］オイラーの問題：

　　ｘが［ｅ^(-e)，ｅ^(1/e)］＝［０．０６５９・・・，１．４４４６・・・］の間にあるとき，ｙ＝ｘ^x^x^x^x･･･（ｘのｘ乗のｘ乗のｘ乗の・・・）が，ある極限に近づくことをオイラーが示した．

　すなわち，ｅ^(-e)＝（１／ｅ）^eはこの関数が有限値に収束するｘの最小値であり，ｅ^(1/e)＝１．４４４６・・・は関数ｙ＝ｘ^x^x^x^x･･･が定義される区間の上限値である．６の６乗の６乗の６乗の・・・は無限大に発散するが，√２の√２乗の√２乗の√２乗の・・・は有限値に収束するのである．

　ｅ^(1/e)＝１．４４４６・・・は１より大きいことに注意．本当に無限大に発散しないのであろうか？

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［Ｑ］ｙ1＝ｘ^xの最小値を求めよ．

　　ｌｏｇｘ^x＝ｘｌｏｇｘ

　　（ｘｌｏｇｘ）’＝ｌｏｇｘ＋１＝ｌｏｇ（ｘｅ）

　　ｙ1’＝ｙ1ｌｏｇ（ｘｅ）

　したがって，ｘ^xは０＜ｘ＜１／ｅでは単調減少，ｘ＞１／ｅでは単調増加．ｘ＝１／ｅのとき，最小値（１／ｅ）^1/e＝ｅ^-1/e＝０．９６２２・・・をとる．

［Ｑ］ｙ2＝ｘ^x^xの最小値を求めよ．

　　ｌｏｇｙ2＝ｙ1ｌｏｇｘ

　　ｙ2’／ｙ2＝ｙ1’ｌｏｇｘ＋ｙ1／ｘ

［Ｑ］ｙ3＝ｘ^x^x^xの最小値を求めよ．

　　ｌｏｇｙ3＝ｙ2ｌｏｇｘ

　　ｙ3’／ｙ3＝ｙ2’ｌｏｇｘ＋ｙ2／ｘ

　このように関数を漸化式で表す．ｙnのｘを固定すると，ｎに対して関数の値は単調減少か単調増加である．極限値ａを動かしたときのｘの範囲を求めると，これがいわゆるｘの定義域に相当する．

　ｙn+1が極限値をもつとき，ｙn+1’＝０となるｘが存在する．そのとき

　　ｙn’／ｙn＝−１／（ｘｌｏｇｘ）

ここでｌｏｇ｜ｌｏｇｘ｜は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数であるから

　　ｌｏｇｙn＝−ｌｏｇ｜ｌｏｇｘ｜＋Ｃn

以下同様に，ｙ2が極限値をもつならば

　　ｌｏｇｙ1＝−ｌｏｇ｜ｌｏｇｘ｜＋Ｃ1

なるｘが存在する．

　ここで時間切れ．あと一息どころが，迷宮に迷い込んでしまったのかもしれない．

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