ｎ次元正軸体の切断による体積より，不等式

　　２／ｎ！≧（２／ｎ）^n

が成り立つことがわかっている．

　　２^(n-1)≦ｎ！≦ｋ^(n-1)

より，

　　２／ｋ^(n-1)≦２／ｎ！≦２／２^(n-1)＝１／２^(n-2)

のような上界・下界評価では粗すぎる．もっと正確な近似が必要であることがわかるだろう．

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【１】証明？

　　ｎ！≦２（ｎ／２）^n

　　ｎ！／ｎ^n≦１／２^n-1

　　１／ｎ・２／ｎ・・・（ｎ−１）／ｎ・ｎ／ｎ≦１／２^n-1

であることを証明すればよい．

　左辺に対して，相加平均・相乗平均不等式を適用すると

　　左辺≦（Σｋ／ｎ^2）^n＝（（ｎ＋１）／２ｎ）^n＝１／２^n（１＋１／ｎ）^n

　ここで（１＋１／ｎ）^n＜ｅより，

　　左辺≦ｅ／２^n

となって，

　　左辺≦１／２^n-1

までもう一息である．

　スターリングの公式の漸近評価の項で述べた

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n≦ｎ！≦ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

が成り立つので，

　　（ｎ／ｅ）^n／ｅ≧１／ｎ！≧（ｅ／ｎ）^n／ｅｎ

が使えるかもしれないが，次回の宿題としたい．

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【２】漸近評価

　　ｖ1／（ｖ1＋ｖ2）＝（２／ｎ！−（２／ｎ）^n）／（２／ｎ！）

　＝１−ｎ！／ｎ^n・２^n-1

　階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)

スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　以上により，

　　１−ｎ！／ｎ^n・２^n-1〜１−√（２πｎ）ｅ^(-n)・２^n-1〜１

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