［１］正軸体の基本単体

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

［２］超立方体の基本単体

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１，１，０，・・・，０）

　　ｐ2（１，１，１，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１，１，１，・・・，０）

　　ｐn（１，１，・・・，１）

に対して，

　　ｖ1：正軸体の基本単体の切り落とし部分の体積

　　ｖ2：正軸体の基本単体の切断体

　　ｖ3：超立方体の基本単体の切断体（二等分体）

の体積を求めてみる．

　基本単体数をｇ＝２^n・ｎ！とおくと，

　　（ｖ1＋ｖ2）ｇ／２^n＝１／ｎ！

　　ｖ2・２ｇ／２^n＝（２／ｎ）^n

　　ｖ3・２ｇ／２^n＝１

より，

　　ｖ1：ｖ2：ｖ3＝２／ｎ！−（２／ｎ）^n：（２／ｎ）^n：１

　なお，スターリングの公式の漸近評価の項で述べる

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜ｎ！＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

が成り立つので，

　　２／ｎ！−（２／ｎ）^n≧０

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［補］階乗の漸近評価（スターリングの公式）

　階乗ｎ！の近似値を与える公式として有名なスターリングの公式があります．

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）ｎ^nｅ^(-n)

スターリングの公式では，ｎ＝８のとき相対誤差は約１％ですが，ｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　まず，スターリングの公式を誘導してみましょう．

　　ｌｏｇｎ！＝ｌｏｇ１＋ｌｏｇ２＋・・・＋ｌｏｇｎ

　　　　　　　＝Σｌｏｇｘ

　ここで，ｙ＝ｌｏｇｘのグラフを幅が１の長方形に分割していくと，ｘが十分大きければ相対的に和の間隔が小さくなるので，和は積分に置き換えられます．

　　Σｌｏｇｘ≒∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ

　ｌｏｇｘの原始関数は置換積分よりｘｌｏｇｘ−ｘ＋Ｃと計算され，区間［１，ｎ］ですから，

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＝ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１

となります．

　　ｌｏｇ（ｎ−１）！＜∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！

より，ｎ！の下からの評価は

　　∫(1,n)ｌｏｇｔｄｔ＜ｌｏｇｎ！

したがって，

　　ｎ！＞ｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ^nｅ^(-n)＝ｅ（ｎ／ｅ）^n

が得られます．

　また，上からの評価は

　　ｌｏｇｎ！＜∫(1,n+1)ｌｏｇｔｄｔ

より，

　　ｎ！＜ｅｘｐ（（ｎ＋１）ｌｏｇ（ｎ＋１）−ｎ）＝（ｎ＋１）^(n+1)／ｅ^n

したがって，

　　ｎ！＝ｎ（ｎ−１）！＜ｎｅｘｐ（ｎｌｏｇｎ−ｎ＋１）＝ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

が得られます．

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜ｎ！＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

　ここで，スターリングの公式

　　ｎ！　〜　√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n

で与えられるような漸近挙動を得るには，もっと注意深い解析が必要になることがわかりしたますが，それは別の機会に譲ることにして，

　　ｅ＜√（２πｎ）＜ｅｎ

より，ここでは，スターリングの公式が上下の評価式の中間に位置することだけ指摘しておきます．

　　ｅ（ｎ／ｅ）^n＜√（２πｎ）（ｎ／ｅ）^n＜ｅｎ（ｎ／ｅ）^n

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