ｎ次元正軸体の頂点の座標は

　　（１，０，・・・，０）

　　（０，１，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・

　　（０，０，・・・，１）

で与えられるから，基本単体の座標はｋ次元面の重心をとることによって，

　　ｐ0（１，０，・・・，０）

　　ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　ｐ2（１／３，１／３，１／３，０，・・・，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・・・

　　ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ）

　　ｐn（０，０，・・・，０）

　正軸体を切頂する場合，すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？　また，この切断によって，正軸体の基本単体はどのような形になるのだろうか？

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【１】正軸体の基本単体の切断

　３次元の場合，ｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，ｚ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　→　ｘ＝２ｙ，ｙ＝ｙ，ｚ＝０　　（切頂八面体）

　点Ｐ（ｘ，ｙ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｙ

　４次元の場合は，ｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

　点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｚ

　これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ−１）／２として

　→　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｙ＝（ｎ−２）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−３）／ｓ，・・・，ｗ＝０

となることが理解される．

　正軸体の頂点をトランケートして，辺の長さが等しくなるように調整するには頂点ベクトルｐ0ｐnに垂直なｎ次元超平面を

　　ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ＝ｔ

すなわち，ｎ＝３のときはｘ＝２／３で切断すればよい．

　ｔ（０＜ｔ＜１）とおくと，超平面ｘ＝ｔと

　　Ｐ（ｔ，０，０，・・・，０）・・・ｐ0ｐnとの交点

　　Ｑ（ｔ，１−ｔ，０，・・・，０）・・・ｐ0ｐ1との交点

に引き続き，ｐ0ｐ2との交点は

　　（ｔ，（１−ｔ）／２，（１−ｔ）／２，・・・，０，０）

以下同様にして，ｐ0ｐn-1との交点は，

　　（ｔ，（１−ｔ）／（ｎ−１），（１−ｔ）／（ｎ−１），・・・，（１−ｔ）／（ｎ−１））

と続く．

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【２】まとめ

　超平面ｘ＝（ｎ−１）／Ｓ＝２／ｎ＝ｔはｎが偶数のとき，頂点Ｐn/2-1を通ることが明らかになった．しかも，正軸体の基本単体の切断のほうが超立方体の基本単体の切断よりも簡単に扱えることがわかった．

　超立方体の基本単体を２等分するときもｎが偶数次元か奇数次元かによって頂点数を分ける必要があったが，３次元空間内では超立方体の基本単体を２等分したものと一致する．４次元空間内では正２４胞体になるから，超立方体の基本単体を２等分したものと一致する．ここまでくれば，超立方体の基本単体を２等分して得られるものとは別物であるはずがない．（その１３）（その５５）で行った計算は誤りだったというわけである．

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