［参］宮崎興二・石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」京都大学学術出版会

によれば，切頂八面体｛３，３｝（１，１，１）＝｛３，４｝（１，１，０）（いずれも１４面体）の拡張として，

　　　　　正単体の切断体　　　　　　　　　　　　　　　正軸体の切断体

｛３，３，３｝（１，１，１，１）３０面体　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）４８面体

｛３，３，３，３｝（１，１，１，１，１）６２面体　　｛３，３，３，４｝（１，１，１，１，０）１６２面体

｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）１２６面体　　｛３，３，３，３，４｝（１，１，１，１，１，０）５３６面体

があげられているが，ｎ次元切頂八面体といった表現は誤解を招きやすく具合悪い．どうすべきだろうか？　以下のように考えてみよう．

　ｎ次元超立方体を基本単体の最長辺の中点を通る超平面：ｘ1＋ｘ2＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で切断する．ｎ次元の立方体を超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で頂点まわりをすべて切頂することによって，ｎ＝３では実際に切頂八面体，ｎ＝４では正２４胞体が得られる．

　ｋ次元面の中心Ｐkは

　　Ｐ0（０，０，０，・・・）

　　Ｐ1（１，０，０，・・・）

　　Ｐ2（１，１，０，・・・）

　　Ｐ3（１，１，１，・・・）

で与えられる．したがって，ｎが偶数のとき，超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２は超立方体のｎ／２次元面の中心を通る．奇数の場合はそれらの中間を通ることになるのだが，そのとき，超立方体を切断した形はどのようなものになるのだろうか？

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【１】３次元立方体の切頂

　３次元立方体の切頂では

［０］頂点を通る場合　　：｛３，４｝（０，０，１）

［１］辺の中点を通る場合：｛３，４｝（０，１，０）

［２］面の中心を通る場合：｛３，４｝（１，０，０）

であって，超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＝３／２は［１］と［２］の中間を通ることになる．それは切頂八面体｛３，４｝（１，１，０）である．

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【２】４次元立方体の切頂

［０］頂点を通る場合　　：｛３，３，４｝（０，０，０，１）

［１］辺の中点を通る場合：｛３，３，４｝（０，０，１，０）

［２］面の中心を通る場合：｛３，３，４｝（０，１，０，０）

［３］胞の中心を通る場合：｛３，３，４｝（１，０，０，０）

であって，超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝２は面心を通る．

　面の中心を通る場合：｛３，３，４｝（０，１，０，０）は正２４胞体｛３，４，３｝（１，０，０，０）と同形である．

｛３，３，４｝（０，１，０，０）＝｛３，４，３｝（１，０，０，０）

したがって，正２４胞体は菱形十二面体の拡張であるとともに，切頂八面体の拡張でもある．

　４８胞体｛３，３，４｝（１，１，１，０）は切頂型ではなく，切頂・切面が必要になる．

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【３】５次元立方体の切頂

［０］頂点を通る場合　　：｛３，３，３，４｝（０，０，０，０，１）

［１］辺の中点を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，０，０，１，０）

［２］面の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，０，１，０，０）

［３］胞の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（０，１，０，０，０）

［４］４次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，４｝（１，０，０，０，０）

であって，超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＋ｘ5＝５／２は［２］と［３］の中間を通ることになる．

　それは４２胞体｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）であって，１６２胞体｛３，３，３，４｝（１，１，１，１，０）ではない．

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【４】６次元立方体の切頂

［０］頂点を通る場合　　：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，０，０，１）

［１］辺の中点を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，０，１，０）

［２］面の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，０，１，０，０）

［３］胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）

［４］４次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（０，１，０，０，０，０）

［５］５次元胞の中心を通る場合：｛３，３，３，３，４｝（１，０，０，０，０，０）

であって，超平面ｘ1＋ｘ2＋ｘ3＋ｘ4＝３は胞心を通る．

　それは，７６胞体｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）であって，１６２胞体｛３，３，３，３，４｝（１，１，１，１，１，０）ではないのである．

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【５】ｎ次元切頂八面体

　　　　　正単体の切断体　　　　　　　　　　　　　　　正軸体の切断体

｛３，３｝（１，１，１）１４面体　　　　　　｛３，４｝（１，１，０）１４面体

｛３，３，３｝（１，１，１，１）３０面体　　｛３，３，４｝（０，１，０，０）２４面体

｛３，３，３，３｝（１，１，１，１，１）６２面体　　｛３，３，３，４｝（０，１，１，０，０）４２面体

｛３，３，３，３，３｝（１，１，１，１，１，１）１２６面体　　｛３，３，３，３，４｝（０，０，１，０，０，０）７６面体

　形状ベクトルだけ書くと，｛３，４｝（１，１，０）の拡張は

　　（１，１，１，０）（１，１，１，１，０）（１，１，１，１，１，０）

ではなくて

　　（０，１，０，０）（０，１，１，０，０）（０，０，１，０，０，０）

と考えられる．

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