（その４９）に引き続き，一松信先生からお手紙を頂いたので紹介したい．

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　（その４９）では意図的に特定の頂点を通らないように選びましたから，そういう制限を除けば

［１］ｎ次元立方体の基本単体の切断体

［２］ｎ次元正単体の基本単体の切断体

はプロポーションは異なるが，いずれも胞数（ｎ＋２）の多胞体である（２次元では３角形，３次元では［１］［２］は同形となる）

という形も生ずると思います．

　要は切半体というとき，超立方体の場合のように，偶数次元で中間の次元の頂点（胞の中心）を通るようにするか，それともそういった状況を考えず（どうせ次元に対する対称性（相反性）は単体のときはないとして）体積を２分するように切半するかで形は変わります．

　ところで，一般にｎ次元単体の表面のｋ次元要素は（ｎ＋１，ｋ＋１）個あります．これを頂点を通らない超平面で切って，その片側にｍ個（１≦ｍ≦ｎ−１）の頂点があるようにしたとき，その側にできる多胞体の要素の数は，次のような式になりました．

　　（ｎ＋２，ｋ＋２）−（ｎ−ｍ＋２，ｋ＋２）−（ｍ，ｋ＋２）

　　　ただし（ｎ，ｒ）で，ｒ＜０またはｒ＞ｎのときは０とする．

　その反対側は

　　（ｎ＋２，ｋ＋２）−（ｍ＋１，ｋ＋２）−（ｎ−ｍ＋１，ｋ＋２）

個ですが，これは上式でｍをｎ−ｍ＋１に置き換えれば導かれます．証明は中間にある（ｋ＋１）次元胞が切り口のｋ次元胞の数であることに注意し，その側に残る要素数，切られて一部残るｋ次元胞の個数，切り口の個数を加え，二項係数の等式で簡易化する方法でできます．わざとまとめないで二項係数のまま書いておきます．

　ｎ次元正単体の基本単体の切半体がｎに対してどのようなｍに対応するのかを調べれば一般的な公式がわかると思います．

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