【１】３次元の半正多胞体の重複

　正四面体｛３，３｝（１，０，０）を切頂する場合，

［１］辺心に達するまで：切頂四面体

［２］辺心　　　　　　：正八面体

［３］辺心から面心の間：切頂四面体の形

［４］面心　　　　　　：正四面体

となる．

　辺の中点を通る場合：｛３，３｝（０，１，０）は八面体となるか，これは正八面体｛３，４｝（１，０，０）と同形である．同様に

　　｛３，３｝（０，１，０）＝｛３，４｝（１，０，１）：立方八面体

　　｛３，３｝（１，１，１）＝｛３，４｝（１，１，０）：切頂八面体

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【２】４次元の半正多胞体の重複

　４次元の超立方体の切断については

［１］辺の中点を通る場合：立方八面体と正四面体で囲まれる図形

［２］面の中心を通る場合：正２４胞体

［３］胞の中心を通る場合：正１６胞体

になる．とくに面の中心を通る場合：｛３，３，４｝（０，１，０，０）は正２４胞体｛３，４，３｝（１，０，０，０）と同形である．

　同様に，

　　｛３，３，４｝（１，０，１，０）＝｛３，４，３｝（０，１，０，０）：４８胞体

　　｛３，３，４｝（１，１，１，０）＝｛３，４，３｝（１，１，０，０）：正２４胞体の切頂型となる４８胞体で，切頂八面体と立方体で囲まれる図形

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【３】５次元以上の半正多胞体の重複

　立方体の基本単体と正単体の基本単体はｎ≧５では別物と考えられ，重複はないと思われる．

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【４】ｎ次元単純半正多胞体の種類

　［参］石井源久「多次元半正多胞体のソリッドモデリングに対する研究」

には立方体に限らず，正四面体，正八面体，正十二面体，正二十面体，４次元正２４胞体，その他に対する結果も網羅されている．

　ｎ次元半正多胞体の形状ベクトルの次数はｎであるから，ｎ次元半正多胞体は１系列で２^n個あると考えるのは誤りである．自己双対かどうかによって変わってくるが，以下の表のようになる．括弧内の数字は正多胞体の数である．

次元　｛３^n-1｝｛３４３｝系　｛３^n-2４｝｛３５｝｛３３５｝系　重複

３　　　　　　　５（１）　　　　　　　　　　７（２）　　　　　３（１）

４　　　　　　　９（１）　　　　　　　　　１５（２）　　　　　３（１）

５　　　　　　１９（１）　　　　　　　　　３１（２）　　　　　　０

ｎ　２^n-1＋２^[(n-1)/2]−１（１）　　２^n−１（２）　　　　　　０

　　　　　積正多胞体　　　　　　　　　　　　　　単純半正多胞体

　　　　　１６（５）　　　　　　　　　　　　　　　　１１

　　　　　４５（６）　　　　　　　　　　　　　　　　３９

　　　　　５０（３）０　　　　　　　　　　　　　　　４７

２^n＋２^n-1＋２^[(n-1)/2]−２（３）　　２^n＋２^n-1＋２^[(n-1)/2]−５

　なお，３次元には単純半正多胞体以外の半正多胞体が（無限系列を除いて）３種類（ねじれ立方体，ねじれ１２面体，ミラーのねじれ菱形立方八面体）ある．４次元では（無限系列を除いて）２種類（アリシア胞，コンウェイ胞）発見されているが，５次元以上では（無限系列を除いて）発見されていない．

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