話が混み入ってきたので，小括しておきたい．

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【１】立方体・正軸体の切断

　３次元平行多面体の場合，立方体の基本単体を２等分することによって切頂八面体の元素ができ，それを使うと他の平行多面体も作ることができた．

　ペンタドロンは立方体の基本単体をその最長辺の垂直２等分面で切断した立体である．ペンタドロンをうまく組み合わせると，立方体・菱形十二面体・切頂八面体などの空間充填形（平行多面体）ができるが，平行多面体がこのような１種類の素材だけで組み立てることができるのは驚きである．

　ｎ次元の立方体を超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２で頂点まわりをすべて切頂することによって，ｎ＝３では実際に切頂八面体，ｎ＝４では正２４胞体が得られる．

［補］３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩で正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類ある．これら３種類に共通する元素としてＲＰがある．なお，４次元の正１６胞体は空間充填形だが，平行多面体ではない．平行移動したものだけでは済まず，回転させた位置のものが不可欠だからである．

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【２】正単体の切断

　ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となる（ミンコフスキーの定理）．したがって，ｎ次元の立方体と２（２^n−１）胞体（ｎ次元の切頂八面体）に共通する元素を作ることができれば，それがｎ次元平行多面体の元素となりうる可能性は大である．

　２（２^n−１）胞体（ｎ次元の切頂八面体）を得るためには，正単体を切断する必要がある．正単体の切断体と立方体（あるいは同じことではあるが正軸体）の切断体は３次元の場合は一致するが，４次元以上の場合は一致しない．たとえば，超立方体（正軸体）の角を切り落とした図形は，切り方の深さにもよるが

　　　　　正単体の切断体　　　　正軸体の切断体

ｎ＝３　　　　１４面体　　　　　　　１４面体

ｎ＝４　　　　３０面体　　　　　　　４８面体

ｎ＝５　　　　６２面体　　　　　　１６２面体

ｎ＝６　　　１２６面体　　　　　　５３６面体

といった具合である．

　このことから，後者は平行多面体の元素ではないこともわかる．しかしながら，正単体の切断体を得るのは難しく，（その１２）では断念するはめに陥ってしまった．

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【３】平行２（２^n−１）面体の元素

　平行２（２^n−１）面体の元素を設計する場合，置換多面体（permutahedron）を考えるのが有効であると思われる．２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．置換多面体はｖn＝（ｎ＋１）！個の頂点とｃn＝２（２^n−１）個のｎ−１次元胞をもつ．また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体である．

　途中経過であるが，３次元を除き，平行２（２^n−１）面体の元素と立方体の基本単体の半切による元素は一致しないものと思われる．たとえば，切頂の深さを変えたところで，４次元立方体の基本単体の切頂体は（２４面体にはなっても）３０面体にはならないし，同様に５（６）次元立方体の基本単体の切頂体は６２（１２６）面体にはならないことが確かめられているからである．その意味でもペンタドロンは奇跡の多面体なのである．

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