頂点数２ｎ，胞数（ｎ＋２）の多胞体はｎ−１次元単体を動かしてできる単体柱と思われるが本当だろうか？

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【１】単体の基本単体の切断

　ｎ単体のｆベクトルは（ｎ＋１，ｋ）で与えられる．

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（４，６，４）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（５，１０，１０，５）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（６，１５，１５，６）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（７，２１，２１，７）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（８，２８，４２，２８，８）

　単体柱のｋ次元面数は，１次元低い単体のｋ次元面数の２倍とｋ−１次元面数の和であるから，漸化式

　　ｆk(n)＝２ｆk(n-1)＋ｆk-1(n-1)，ｆ0(n)＝２ｎ，ｆn-1(n)＝ｎ＋２

が成り立つ．ｆ-1(n-1)＝０，２次元を除いてｆn(n-1)＝ｎ＋２と約束すると，

　３次元：（３，３）→（６，９，５）

　４次元：（４，６，４）→（８，１６，１４，６）

　５次元：（５，１０，１０，５）→（１０，２５，３０，２０，７）

　６次元：（６，１５，２０，１５，６）→（１２，３６，５５，５０，２７，８）

　７次元：（７，２１，３５，３５，２１，７）→（１４，４９，９１，１０５，７７，８）

　しかし，これではオイラー・ポアンカレの公式が成立せず，単体柱ではないことがわかる．

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【２】ｎ次元立方体の基本単体の切断

　二項係数（ｎ，ｒ）において，ｎ＜ｒのときは０と約束すると，ｊ次元胞の個数ｆjは

［１］ｎが奇数（ｎ＝２ｋ−１）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋１，ｊ＋２）＋（ｋ，ｊ＋１）−２（ｋ＋１，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ−１）／２

［２］ｎが偶数（ｎ＝２ｋ）のとき，

　　ｆj＝（２ｋ＋２，ｊ＋２）＋（ｋ＋１，ｊ＋１）−２（ｋ＋２，ｊ＋２）

　　ｆ0＝ｋ^2＋ｋ＋１

　　ｆ1＝ｋ（ｋ＋１）（２ｋ＋１）／２

　２次元：（ｆ0，ｆ1）＝（３，３）

　３次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2）＝（６，９，５）

　４次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3）＝（７，１５，１４，６）

　５次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4）＝（１２，３０，３４，２１，７）

　６次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5）＝（１３，４２，６４，５５，２８，８）

　７次元：（ｆ0，ｆ1，ｆ2，ｆ3，ｆ4，ｆ5，ｆ6）＝（２０，７０，１２０，１２５，８４，３６，９）

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