ｎ次元正単体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）

　　Ｖ1（１，０，・・・，０，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）

から生成される．これらの頂点間距離は√２である．

　その際，０次元面〜ｎ次元面の中心は

　　｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖr｝

から生成されるので，

　　Ｐ0（１，０，０，・・・，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０，・・・，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３，・・・，０）

　　Ｐn-1（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）　

　　Ｐn（１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】正単体の基本単体の切断

　原始的平行多面体の元素を求めるには，ｎ次元正単体の基本単体を辺に垂直なｎ次元超平面で切断すればよいことがわかるだろう．そして，最終的に頂点となるのはＳ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　　Ｑ＝（ｎ／Ｓ，（ｎ−１）／Ｓ，（ｎ−２）／Ｓ，・・・，０）

である．

ＰnＰ0＝（１−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））

ＰnＰ1＝（１／２−１／（ｎ＋１），１／２−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１））

ＰnＰn-2＝（１／（ｎ−１）−１／（ｎ＋１），・・・，−１／（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，この超平面をａ・ｘ＝ｃで表すと

　　ｃ＝ｎ／２Ｓ

ＰnＰ1に垂直なｎ次元超平面では

　　ｃ＝（ｎ−１）／２Ｓ

ＰnＰn-2に垂直なｎ次元超平面では

　　ｃ＝２／２Ｓ

　問題はどの頂点を切頂しどの辺を切稜するのかである．当初は

［１］Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐn-2をすべて切断する

［２］Ｐ0，Ｐ1，・・・，Ｐ［（ｎ−１）／２］を切断する

ことを考えたのであるが，

［３］Ｐ0を切頂し，Ｐ1を切稜する

だけでよいことがわかった．Ｐ2を切断すると基本単体の間に隙間を生じてしまうからである．

　ＰnＰ0に垂直なｎ次元超平面が点Ｑを通るから，この超平面をａ・ｘ＝ｃで表すと

　　ｃ＝ｎ／２Ｓ

であることは前述したとおりであるが，この超平面は点Ｐ1は通らない．また，この超平面と辺Ｐn-1Ｐ0との交点は

Ｐn-1Ｐ0＝（１−１／ｎ，−１／ｎ，・・・，−１／ｎ，０）

より，

ｘn+1＝０

（ｘ1−１）／（１／ｎ−１）＝ｘ2／（１／ｎ）＝・・＝ｘn／（１／ｎ）＝ｋ

を

（１−１／（ｎ＋１））ｘ1−１／（ｎ＋１）（ｘ2＋・・＋ｘn+1）＝ｎ／２Ｓ

に代入すると求めることができる．

　具体的には計算しないが，この操作によって，２次元では凧型，３次元ではc-squadronができる．ｎ＝２の場合は例外であるが，ｎ次元では頂点数２ｎ＋２，胞数ｎ＋３となる．

　また，それぞれ二等分することができる．二等分体となる鏡像体は（ｎ＋２）胞体をなすことになる．また，二等分体の頂点は点Ｐ2〜Ｐn-1，それらと点Ｐ0を結ぶ辺上の交点，点Ｐn，辺Ｐ1Ｐ2，Ｐ1Ｐn上の交点および点Ｑの２ｎ個である．ｎ＝２の場合は例外であるが，ｎ次元の場合はｎ−１次元単体を動かしてできる単体柱？

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝