まずは（その３８）の復習から．３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体
Ｖ1（１，０，０，０）
Ｖ2（０，１，０，０）
Ｖ3（０，０，１，０）
Ｖ4（０，０，０，１）
ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１
をとるとしよう．
ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点すなわちｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると
（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２
→ ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０
これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１
→ ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０
また，重心座標は
ｃ（Ｓ）＝（１／４，１／４，１／４，１／４）
体心座標は
ｃ（Ａ）＝（１／３，１／３，１／３，０）
ｃ（Ｂ）＝（０，１／３，１／３，１／３）
であるから，重心から各頂点に向かうベクトルは
（１／２−１／４，１／３−１／４，，１／６−１／４，０−１／４）
＝（１／４，１／１２，−１／１２，−１／４）
重心から各面心に向かうベクトルは
（１／３−１／４，１／３−１／４，，１／３−１／４，０−１／４）
＝（１／１２，１／１２，１／１２，−１／４）
ここで，スケールをＳ＝ｎ（ｎ＋１）／２倍に拡大すると，
ｘ＝ｎ，ｙ＝（ｎ−１），ｚ＝（ｎ−２），・・・，ｗ＝０
また，中心座標は
ｃ（Ｓ）＝（ｎ／２，ｎ／２，・・・，ｎ／２）
それぞれの胞心は
ｃ（Ａ）＝（（ｎ＋１）／２，（ｎ＋１）／２，・・・，（ｎ＋１）／２，０）
であるから，重心から各頂点に向かうベクトルは
（ｎ−ｎ／２，（ｎ−１）−ｎ／２，・・・，０−ｎ／２）
重心から各胞心に向かうベクトルは
（１／２，１／２，・・・，０−ｎ／２）
このように考えれば置換多面体の元素が得られるはずである．これまで支離滅裂な考察による紆余曲折を経ながらも次第に正解に近づきつつあると思うので，計算を続行したい．
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【１】辺の長さ
ｎ次元置換多面体は頂点座標が整数（０，１，２，３，・・・，ｎ）の点の置換（ｎ＋１）！個からなる１辺の長さ√２の多面体である．
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（１，０，２，３，・・・，ｎ−１，ｎ）
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（０，２，１，３，・・・，ｎ−１，ｎ）
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（０，１，３，２，・・・，ｎ−１，ｎ）
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（０，１，２，３，・・・，ｎ，ｎ−１）→長さ√２，ｎ本
このことから，頂点の次数はｎ，すなわち，単純ゾーン多面体であることもわかる．
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【２】対角線の長さ
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（２，１，０，３，・・・，ｎ−１，ｎ）→長さ２√２，ｎ−１本
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（３，１，２，０，・・・，ｎ−１，ｎ）→長さ３√２，ｎ−２本
（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（ｎ，１，２，２，・・・，ｎ−１，０）→長さｎ√２，１本
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（０，１，２，３，・・・，ｎ）−（ｎ，ｎ−１，・・・，３，２，１，）→長さｎ√（ｎ＋１），１本
など
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【３】重心・面心間距離
また，正単体の中心から，各頂点までの距離ｃ0^2は
Σｋ^2−ｎΣｋ＋（ｎ＋１）ｎ^2／４
＝ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）／６−ｎ^2（ｎ＋１）／２＋（ｎ＋１）ｎ^2／４
＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／１２
また，各胞心までの距離ｃn-1^2は
ｎ（１／２）^2＋（ｎ／２）^2＝ｎ（ｎ＋１）／４
一般に，元の正単体の１次元面〜ｎ＋１次元面の中心は
｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖr｝
から生成されるので，
（１，０，０，・・・，０）
（１／２，１／２，０，・・・，０）
（１／３，１／３，１／３，・・・，０）
（１／ｎ，１／ｎ，１／ｎ，・・・，０）
（１／（ｎ＋１），１／（ｎ＋１），，・・・，１／（ｎ＋１））
をそれぞれＳ倍すればよいのだが，切頂切稜されているので，すぐには諸量を計算することはできない．次回の宿題としたい．
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