［参］クリフォード.A.ピックオーバー「数学のおもちゃ箱 上」日経BP社 P.284
に「ラマヌジャンの式」として
x/(2x-1)=1-(x-1)/(x+1)+((x-1)*(x-2))/((x+1)*(x+2))-((x-1)*(x-2)*(x-3))/((x+1)*(x+2)*(x+3))-…
が取り上げられています．単純なようでいてなかなか興味深い式だと考えられます．
おそらく古典的な公式があるのだと思うのですが，たとえば，１／（２ｘ）＝ｚとおいてみても
x/(2x-1)=1/2･1/(1-1/2x)=1/2･1/(1-z)=1/2･(1+z+z^2+z^3+･･･)
となって埒があきません．証明しようと試行錯誤を重ねたのですが，行き詰まってしまいました．
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【１】Mathematicaによる証明
ところが，Mathematicaはちゃんと計算してくれて，
右辺＝Γ（１＋ｘ）Γ（−１＋２ｘ）／Γ（ｘ）Γ（２ｘ）
右辺＝ｘ／（−１＋２ｘ）は明らかである．これから推察すると，まず何とかΓ関数に帰着させることが重要なようだ．
Mathematicaがどのような処理をしてΓ関数に帰着しているのかを，阪本ひろむ氏がTrace機能を使って内部の動きを観察してみてくれた．
Pochhammer関数＝Gamma[a+n]/Gamma[a]
を使って自然と答えを導いているようにみえるとのことであった．
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【２】ＴＮ氏による証明
その後，ＴＮ氏が「入れ子状に無限に続く」という言葉をヒントに，以下のような証明を思いついたので紹介します．
x/(2x-1)=1-(x-1)/(2x-1)
=1-((x-1)/(x+1))*(x+1)/(2x-1)
=1-((x-1)/(x+1))*(1-(x-2)/(2x-1))
=1-((x-1)/(x+1))*(1-((x-2)/(x+2))*(x+2)/(2x-1))
=…
=1-((x-1)/(x+1))*(1-((x-2)/(x+2))*(1-((x-3)/(x+3))*(1-((x-4)/(x+4))*(1-…))))
=1-(x-1)/(x+1)+((x-1)*(x-2))/((x+1)*(x+2))-((x-1)*(x-2)*(x-3))/((x+1)*(x+2)*(x+3))+((x-1)*(x-2)*(x-3)*(x-4))/((x+1)*(x+2)*(x+3)*(x+4))-…
なお，ＴＮ氏からはトラクトリックスの回転体である擬球の体積は4/3πa^3ではなく，2/3πa^3であるというご指摘もいただきました．
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【補】ガンマ関数とベータ関数
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt x>0
無限積分Γ(x)をｘの関数とみてガンマ関数といいます．
Γ(1)=∫(0,∞)exp(-t)dt=1
Γ(1/2)＝∫(0,∞)t^(-1/2)exp(-t)dt
ここで，t=u^2とおくと∫(0,∞)exp(-u^2/2)du=√π/2（ガウス積分）より
Γ(1/2)＝√π
が得られます．
オイラーの第２積分とも呼ばれるガンマ関数Γ(x)には，Γ(x+1)=xΓ(x)の関係があり，次のような漸化式が成り立ちます．
Γ(x+1)=xΓ(x)=x(x-1)Γ(x-1)=････
したがって，ｘが正の整数ｎのときにはΓ(n+1)=n!が成り立ち，ガンマ関数は階乗の一般形となっていることがわかります．
また，半整数のときには，Γ(n+1/2)=(2n)!√π/{2^(2n)n!}です．なお，ガンマ関数Γ(x)はx>0について微分可能で，x=1.4616321449･･･で最小となります．
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ガンマ関数（オイラーの第２種積分）は，
Γ(x)=∫(0,∞)t^(x-1)exp(-t)dt
ベータ関数（オイラーの第１種積分）は，
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt
によって定義されます．ベータ関数とガンマ関数との間には，
B(a,b)=Γ(a)Γ(b)/Γ(a+b)
の関係がありますから，ベータ関数はガンマ関数の兄弟分にあたります．
Γ(1)＝１，Γ(1/2)＝√π
であることを知っていればたいてい間に合いますが，Γ(1/2)＝√πを得るにはベータ関数が用いられます．この関数において，t=sin^2θとおくと
dt=2sinθcosθdθ
ですから
B(a,b)=∫(0,1)t^(a-1)(1-t)^(b-1)dt=2∫(0,π/2)sin^(2a-1)θcos^(2b-1)θdθ
ここで，a=1/2,b=1/2とすると
B(1/2,1/2)=2∫(0,π/2)dθ=π
Γ^2(1/2)/Γ(1)=π
Γ(1)=1ですから，Γ(1/2)＝√πとなります．
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【補】ガンマ関数の積についての有名な公式
Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ・・・相反公式（相補公式）
Γ(1/2+x)Γ(1/2-x)＝π／ｃｏｓπｘ
Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)・・・乗法公式（倍数公式）
相反公式（相補公式）
Γ(x)Γ(1-x)＝π／ｓｉｎπｘ
を用いると，ゼータ関数は
ζ(s)=2Γ(1-s)sin(πs/2)(2π)^(s-1)ζ(1-s)
となりますが，さらに乗法公式（倍数公式）
Γ(x)Γ(x+1/2)＝√πΓ(2x)／２^(2x-1)
を用いれば
sin(πs/2)=π/Γ(s/2)Γ(1-s/2)=√πΓ((1-s)/2)/2^sΓ(1-s)Γ(s/2)
より
π^(-s/2)Γ(s/2)ζ(s)=π^((1-s)/2)Γ((1-s)/2)ζ(1-s)
と整理されます．
これは
ζ(s)＝π^(s-1/2)Γ((1-s)/2)／Γ(s/2)ζ(1-s)
の形にも書けるのですが，前者の方がより対称性の高い形でしょう．
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また，ベータ関数において，a=m/n,b=1/2とおき，t=x^nと置換すると，
∫(0,1)x^(m-1)/(1-x^n)^(1/2)dx=Γ（m/n）√π／nΓ（m/n+1/2）
したがって，
(m,n)=(1,1)のとき，∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
(m,n)=(1,2)のとき，∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
(m,n)=(1,3)のとき，∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
(m,n)=(1,4)のとき，∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
が得られます．
レムニスケート周率ωが，
ω＝Γ^2（1/4）／２^(3/2)π^(1/2)
と書けるいうわけです．
∫(0,1)1/(1-x^1)^(1/2)dx=２
∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx=π／２
は初等的にも得ることができます．一方，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
は，特別な数と楕円積分を関係づけるものになっています．
これらを，Γ^q（1/q）の形で統一的に表示すれば，
Γ^2（1/2）＝π＝２∫(0,1)1/(1-x^2)^(1/2)dx
Γ^3（1/3）＝２^(4/3)３^(1/2)π∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx
Γ^4（1/4）＝２^5π（∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx）^2
なお，
∫(0,1)1/(1-x^3)^(1/2)dx=Γ^3（1/3）／２^(4/3)３^(1/2)π
を得るには，ガンマ関数の乗法公式（倍数公式）
Γ（x/2）Γ（(x+1)/2）＝π^(1/2)Γ（x）／２^(x-1)
と相反公式（相補公式）
Γ（x）Γ（1-x）＝π／ｓｉｎπｘ
また，
∫(0,1)1/(1-x^4)^(1/2)dx=Γ^2（1/4）／２^(5/2)π^(1/2)
を得るには乗法公式を用いています．
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