【１】置換多面体の計量（その３）

　ゾーン多面体はロシアの結晶学者フェドロフによって導入されたが，コクセターはその定義を勘違いしていたようである．（その３７）を書いた後，私も置換多面体の定義を勘違いして，高次元の落とし穴にはまっているのかもと不安になった．

　３次元の場合，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体

　　Ｖ1（１，０，０，０）

　　Ｖ2（０，１，０，０）

　　Ｖ3（０，０，１，０）

　　Ｖ4（０，０，０，１）

　　ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１

をとるとしよう．

　ｘ≧ｙ≧ｚ≧ｗ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｗ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｗ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離が等しいときである．点Ｐをｎ−１次元境界多面体上の点すなわちｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

これらは，ｘ＋ｙ＋ｚ＋ｗ＝１上の点であるから代入すると，６ｚ＝１

　→　ｘ＝１／２，ｙ＝１／３，ｚ＝１／６，ｗ＝０

一般には，Ｓ＝ｎ（ｎ＋１）／２として

　→　ｘ＝ｎ／Ｓ，ｙ＝（ｎ−１）／Ｓ，ｚ＝（ｎ−２）／ｓ，・・・，ｗ＝０

　また，中心座標は

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

それぞれの胞心は

　　ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）

であるから，重心から各頂点に向かうベクトルは

　　（ｎ／Ｓ−１／（ｎ＋１），（ｎ−１）／Ｓ−１／（ｎ＋１），・・・，０−１／（ｎ＋１））

重心から各胞心に向かうベクトルは

　　（１／ｎ−１／（ｎ＋１），１／ｎ−１／（ｎ＋１），・・・，０−１／（ｎ＋１））

　ここで，スケールをＳ倍に拡大すると，

　　ｘ＝ｎ，ｙ＝（ｎ−１），ｚ＝（ｎ−２），・・・，ｗ＝０

また，中心座標は

　　ｃ（Ｓ）＝（ｎ／２，ｎ／２，・・・，ｎ／２）

それぞれの胞心は

　　ｃ（Ａ）＝（（ｎ＋１）／２，（ｎ＋１）／２，・・・，（ｎ＋１）／２，０）

であるから，重心から各頂点に向かうベクトルは

　　（ｎ−ｎ／２，（ｎ−１）−ｎ／２，・・・，０−ｎ／２）

重心から各胞心に向かうベクトルは

　　（１／２，１／２，・・・，０−ｎ／２）

　結局，３次元置換多面体は頂点座標が整数（０，１，２，３）の点の置換４！個からなる１辺の長さ√２の多面体であることが理解される．置換多面体では，２頂点が辺で結ばれていることとベクトル（１，２，３，・・・，ｎ＋１）の対応する２つの置換が隣り合った要素の互換になっていることが同値であるので，そのこととうまく呼応している．

　ここで，原点（０，０，０，０）から各頂点に向かうベクトルを考えるのか，あるいは，この中心から各頂点に向かうベクトルを考えるのかで違ってくるが，正単体の基本単体数は（ｎ＋１）！で与えられるので，全体を１次元あげて４次元正単体の境界多面体をとる場合，中心

　　（ｎ／２，ｎ／２，・・・，ｎ／２）

で分割した置換多面体の元素数も（ｎ＋１）！となる．正単体の基本単体数は（ｎ＋１）！で与えられるので，置換多面体の元素数も（ｎ＋１）！となるのではなかろうか？

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【２】４次元置換多面体の形

　２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．それでは４次元置換多面体の形は？

　レンガのブロック積みを考える．３つのレンガが１点で出会うように平面を敷き詰めると，すべてのレンガは周りの６つのレンガに接することがわかる．お城の石垣でもタマネギの細胞でもこのような原則が成り立っていて，このことから平面充填図形の基本形は６角形であるといえる．６角形の１組の対辺を退化させると４角形になるが，それは６角形から２次的に派生したものと考えることができるだろう．

　次に，空間分割のブロックモデルを考える．１段目を敷き詰めたあと，２段目も１段目と同じように敷き詰めるが，１段目のレンガのすべての頂点を２段目のレンガで覆うようにずらして積み重ねると，１段目のレンガの上には４つのレンガが載ることになる．３段目も同様に行うと同じ段に６，上の段に４，下の段にも４で合計１４のレンガに接することになる．このことからレンガは元々１４面体であって，それが普通のレンガの形に圧縮されたものと考えることができる．

　２次元細胞は６角形であり，３次元細胞は１４面体であることはわかったが，４次元，５次元，・・・，ｎ次元での空間充填多面体の基本形はどうなるのだろう？　どのような形になるのかを知る人は（たとえいたとしても）非常に少ないであろう．　４次元格子では３０胞体，５次元格子では６２房体になる．このことは高次元の場合に一般化できて，ボロノイ細胞の面の数ｆは原始的な格子に対するものが最大で，２（２^n−１）個である（ミンコフスキーの定理）．

ｎ＝２　　　ｆ1＝６

ｎ＝３　　　ｆ2＝１４

ｎ＝４　　　ｆ3＝３０

ｎ＝５　　　ｆ4＝６２

　３次元では４組（８枚）の六角形面と３組（六枚）の四角形面からなる１４面体が得られる．３次元空間を充填するとき，切頂八面体は各頂点の周りに４個ずつ集まる．

　４次元の場合，１０個（５組）の切頂八面体と２０個（１０組）の正六角柱よりなる空間充填平行多面体が導かれる．これはケルビンの立体の４次元版で，各頂点の周りに５個ずつ集まる．切頂八面体(466)×１０と正六角柱(644)×２０からなる４次元空間充填図形の諸計量は，

　　Ｖ＝１２０，Ｅ＝２４０，Ｆ＝１５０，Ｃ＝３０

　　１つの頂点の周りに集まる胞数は(466)×２，(644)×２

となる．

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