【１】置換多面体の計量（その２）

［Ｑ］すべての辺が同じ長さになるのはどんなときだろうか？

　たとえば，３次元の場合，外接球（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝１）面上にｘ≧ｙ≧ｚ≧０なる点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ）が与えられたとき，ずべての稜線の長さが等しくなるのは，点Ｐからｚ＝０平面，ｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離が等しいときである．

　　ｚ＝（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　残りの点は点Ｐの鏡映から得ることができるが，これでできあがるのは２６面体［４，６，８］であって，切頂八面体［４，６，６］ではない．

　そこで，ｚ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２

　→　ｘ＝２ｙ，ｙ＝ｙ，ｚ＝０　　（切頂八面体）

　点Ｐ（ｘ，ｙ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｙ

　２次元の場合（正六角形）の計量は例外となるので，４次元の場合について述べるが，ｗ＝０として，点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）からｘ＝ｙ平面，ｙ＝ｚ平面，ｚ＝ｗ平面までの距離を等しくとると

　　（ｘ−ｙ）／√２＝（ｙ−ｚ）／√２＝（ｚ−ｗ）／√２

　→　ｘ＝３ｚ，ｙ＝２ｚ，ｚ＝ｚ，ｗ＝０

　点Ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，０）のｘ＝ｙ平面に対する鏡映は（ｙ，ｘ，ｚ，０）であるから，辺の長さは

　　√２（ｘ−ｙ）＝√２ｚ

　結局，頂点座標が整数（０，１，２，３，・・・，ｎ−１）の点の置換（ｎ＋１）！個からなる１辺の長さ√２の置換多面体（permutahedron）という族の多面体であることが理解されるのである．

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【２】置換多面体の元素を構成する

　置換多面体は外接球をもち，すべての辺が同じ長さになる．

［１］重心から各頂点までの距離は

　　ｃ^2＝１^2＋２^2＋３^2＋・・・＋（ｎ−１）^2＝（ｎ−１）ｎ（２ｎ−１）／６

　重心から各胞心までの距離は次回の宿題とする．

［２］正軸体の基本単体数は２^n・ｎ！で与えられるので，置換多面体の元素数も２^n・ｎ！となる．また，ｎ次元正軸体の境界多面体はｎ−１次元正単体なので，ｎ＋１次元正単体を使って元素を構成することはできないだろうか？

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【３】ｎ次元正単体

　たとえば，１次元の場合の２頂点を（−１／２，１／２）とし，ｎ＋１次元の場合，新しく加わった座標軸の正の側に，１辺の長さが１となるように新しい頂点をとり，中心が原点にくるように全体を平行移動すると，ｎ＋１個の頂点座標は

　　（１／２，−√３／６，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（−１／２，−√３／６，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，√３／３，−√６／１２，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，０，√６／４，−１／２√１０，・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　（０，０，０，√（２／５），・・・，−１／√２ｎ（ｎ＋１））

　　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・

　　（０，０，０，０，・・・，√（ｎ／２（ｎ＋１）））

になるが，ｎ次元正単体を最も手軽に作るには，全体を１次元上げて（ｎ＋１）次元空間内の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）（ｎ＋１）個から生成される点をとることである．なぜなら，ｎ次元正単体の境界多面体はｎ−１次元正単体，ｎ＋１次元正単体の境界多面体はｎ次元正単体であるからである．

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　正単体をｎ次元空間内で作ると一般に座標が無理数になるので，ｎ次元正単体の代わりに，全体を１次元あげてｎ＋１次元正単体の境界多面体をとると，計算上のメリットも得られる．たとえば，境界多面体はｎ＋１次元空間内のｎ＋１個の単位点（１つだけ座標が１で他が０である点）

　　Ｖ1（１，０，・・・，０，０）

　　Ｖ2（０，１，・・・，０，０）

　　・・・・・・・・・・・・・・

　　Ｖn+1（０，０，・・・，０，１）

から生成される．これらの頂点間距離は√２である．また，中心座標は

　　ｃ（Ｓ）＝（１／（ｎ＋１），・・・，１／（ｎ＋１））

　また，隣接する２つのｎ−１次元胞Ａ，Ｂは

　　Ａ＝｛Ｖ1，Ｖ2，・・・，Ｖn｝

　　Ｂ＝｛Ｖ2，・・・，Ｖn，Ｖn+1｝

から生成されるものをとると，それぞれの中心は

　　ｃ（Ａ）＝（１／ｎ，１／ｎ，・・・，１／ｎ，０）

　　ｃ（Ｂ）＝（０，１／ｎ，・・・，１／ｎ，１／ｎ）

　ｃ（Ｓ）からｃ（Ａ）に向かうベクトルをｕ，ｃ（Ｓ）からｃ（Ｂ）に向かうベクトルをｖとすると，

　　１／ｎ−１／（ｎ＋１）＝１／ｎ（ｎ＋１）

より，

　　ｕ＝（１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１），−１／（ｎ＋１））

　　ｖ＝（−１／（ｎ＋１），１／ｎ（ｎ＋１），・・・，１／ｎ（ｎ＋１））

　したがって，面心間距離（角度）は

　　ｃｏｓθ＝ｕ・ｖ／｜ｕ｜｜ｖ｜＝−１／ｎ

二面角はその補角であるから

　　ｃｏｓδ＝１／ｎ

と計算される．

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