昨年３月，ドルビリン先生（ステクロフ研究所）より，頂点座標が整数（０，±１，±２，±３，・・・，±ｎ−１）の点の置換２^(n-1)・ｎ！個からなるpermutahedronという族の多面体であることを教えていただいたのであるが，どうやら私に勘違いがあったようだ．

　（ａ，ａ±ｄ），ａ±２ｄ），・・・，ａ±（ｎ−１）ｄ））すなわち，整数座標で等差数列をなす一般化したpermutahedronの場合も話されたため，間違ってしまったのだと思う．

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【１】置換多面体（permutahedron）

　あらためて定義したい．ベクトル（１，２，３，・・・，ｎ＋１）の置換によって得られるすべてのベクトルの凸包として得られる多面体で，（ｎ＋１）！個の頂点をもつ．

　置換多面体の２頂点が辺で結ばれていることとベクトル（１，２，３，・・・，ｎ＋１）の対応する２つの置換が隣り合った要素の互換になっていることが同値なので，２次元置換多面体は正六角形，３次元置換多面体は切頂八面体である．

　また，置換多面体は（ｎ＋１，２）次元の立方体のアフィン射影で，単純ゾーン多面体であるから，中心対称で面はすべて重心に関して中心対称なzonohedronである．すなわち，ｎ次元置換多面体は平行多面体の定義を満たしている（ｎ次元切頂八面体）．

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【２】３次元平行多面体

　平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．

　これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．

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【３】ゾーン多面体（zonohedron）

　６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．ゾーン多面体とは立方体のアフィン射影で表される多面体です．

　切頂八面体からあるゾーンを抜くと，長菱形二十面体→菱形十二面体，六角柱→立方体になるので，これらは一連のゾーン多面体と考えることができます．立方体のすべての稜は３方向，菱形十二面体，六角柱では４方向，長菱形十二面体では５方向，切頂八面体では６方向を向くことになります．

　一般にｎ次元平行多面体ではｎ方向〜ｎ（ｎ＋１）／２方向を向くことになるのですが，それに伴って胞数は２ｎ〜２（２^n−１），頂点数は２^n〜（ｎ＋１）！という構成になっています．

　２≦ｋ≦ｎ−２に対して，すべてのｋ面が中心対称なのは，ゾーン多面体の限られるますただし，ｋ＝ｎ−１が中心対称であるとしても，その多面体がゾーン多面体であるとは限りません（たとえば，４次元正２４胞体）．

　また，ゾーン多面体は一般に単純多面体ではありません．たとえば，菱形１２面体は８個の頂点は単純ですが，残り６個の頂点は単純ではありません．

　ゾーン多面体を平行体に分解して，平行体の体積が行列式の形で与えられることを用いれば，ゾーン多面体の体積を計算することができます．→コラム「平行体の体積とグラミアン」参照

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