［参］宮崎興二・石井源久・山口哲「高次元図形サイエンス」京都大学学術出版会

によれば，準正多胞体による４次元空間充填図形として

　　［ａ］正５胞体系{3,3,3}(1,1,1,1)・・・・３０胞体、

　　［ｂ］正１６胞体系{3,3,4}(1,1,1,0)・・・４８胞体

があるという．

　一般に，ｎ次元平行多面体の面数は最大２（２^n−１）個，最小２ｎ個となるが，各頂点の次数がｎで面数が最大２（２^n−１）面の場合がプリミティブである（ミンコフスキーの定理）．

　したがって，［ｂ］は空間充填図形であっても平行多面体ではない．［ｂ］は３次元の立方体とケルビン立体を組み合わせたものであるが，ドローネーのリストからも外れている．

　一方，４次元の場合，胞数が最大の３０であるプリミティブが３つ

　　　Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8

　　　Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6

　　　Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6

あるが，たとえば，Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は３次元の六角柱Ｐ8と切頂八面体Ｐ14を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．これは［ａ］に相当するものと思われる．

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　ところで，ｎ＝４のとき，ｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域はちょうどＲＰとなる．４次元立方体の奇頂点を中心として８個のＲＰを切り落とせば芯に正１６胞体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えればどうなるのだろうか？

　３次元の場合，３次元立方体の奇頂点を中心として４個のＲＴを切り落とせば芯に正四面体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えれば，それは正四面体の辺の中点を通ることから，立方体の双対である正八面体が得られる．ｎ＝４の場合のすべての頂点から１６個のＲＰを取り除く操作によって，正１６胞体の２４本の辺の中点を通ることから，正２４胞体が得られる．

　すなわち，（±１，±１，±１，±１）を頂点とする４次元超立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ±ｗ＝２で表される１６枚の超平面で切った残りは，正２４胞体になるのである．

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【雑感】

　しかし，３次元・４次元の場合はむしろ偶然の幸運であって，５次元以上ではかなり複雑な図形となるようである．

　ともあれ，われわれが設計した４次元平行多面体の元素３８４個で正２４胞体，７６８個で正８胞体を構成することができることはわかっているのだが，はたしてプリミティブ：Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は構成可能なのだろうか？

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