【１】幾何級数の収束
幾何級数
１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・
は２に収束します．無限回の計算は不可能ですからそのｎ次部分和Ｓn
Ｓn ＝１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・＋１／２^(n-1)
を求めてみることにします．これを計算するにはうまい手があります．
Ｓn ＋１／２n-1
＝１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・＋１／２^(n-1)＋１／２^(n-1)
＝１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋・・・＋１／２^(n-2)
＝・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・
＝１／１＋１／２＋１／４＋１／８＋１／８
＝１／１＋１／２＋１／４＋１／４
＝１／１＋１／２＋１／２
＝１＋１
＝２
よって，
Ｓn ＝２−１／２^(n-1)
ｎをどんどん大きくすると１／２^(n-1)はいくらでも小さくなり０に近づきますから，幾何級数は２に収束すると考えられます．この級数は各項の減少する割合が非常に大きいため単純な数に収束するのです．
一般化された幾何級数
ｇ（ｓ）＝Σ１／ｓ^n
は｜ｓ｜＞１のとき収束し，和ｇ（ｓ）＝１／（ｓ−１）をもつことはすぐに理解されます．
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【２】調和級数の発散
一方，調和級数
Ｈ∞＝１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・
は，はじめの１０００項で７．４８５，１００万項で１４．３９３，１０億項で２１．３，１兆項で２８．２と非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散します．調和級数が発散することは容易に示すことができます．
１／３＋１／４＞１／４＋１／４＝１／２
１／５＋１／６＋１／７＋１／８＞１／８＋１／８＋１／８＋１／８＝１／２
・・・・・
したがって，
Ｈ∞＞１＋１／２＋１／２＋１／２＋１／２＋・・・→∞
幾何級数と調和級数とは，だんだん小さくなる正の分数の足し算という点では似ていますが，後者ではちりが積もって山となるわけで，その無限の果てにあるものは全く非なるものです．
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調和級数Ｈn＝Σ（１／ｎ）は非常にゆっくりとですが大きくなり，ついには無限大に発散すること，すなわち，
１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・＋１／ｎ〜ｌｏｇｎ→∞
は容易に示すことができます．
奇数項だけを集めて作った級数は，調和級数よりも増加の速度は遅い者の合算します．
１／１ ＋１／３ ＋１／５ ＋１／７ ＋・・・
＞１／２＋１／４＋１／６＋１／８＋・・・
＝１／２（１／１＋１／２＋１／３＋１／４＋・・・）→∞
同様に，偶数項だけ集めて作った級数も収束せず無限大に発散します．
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【３】diet調和級数の収束
調和級数は発散しますが，分母に９が含まれている項をすべて取り除けば発散しなくなります．
Ｊ＝（１／１＋・・・＋１／８）＋（１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８）＋（１／１００＋・・・＋１／８８８）＋・・・
において，括弧内のすべての項を括弧内の最大項に置き換えると
１／１＋・・・＋１／８＜１／１＋・・・１／１＜９／１
１／１０＋・・・１／１８＋１／２０＋・・・＋１／８８＜１／１０＋・・・１／１０＜９^2／１０
１／１００＋・・・＋１／８８８＜１／１００＋・・・１／１００＜９^3／１０^2
Ｊ＜９／１＋９^2／１０＋９^3／１０^2＋・・・＝９／（１−９／１０）＝９０
したがって，９をすべて取り除いた調和級数は収束します．同様に，取り除く数がどれであっても収束するのですが，１０％の数を取り除くと収束する・・・なにか奇異に感じられませんか？
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【４】すべての数の中に９が含まれる数はいくつあるか？
種明かしをしよう．１から１０^nまで，数字ｘが含まれる数字の個数は（１０^n−９^2），したがって，ｘが含まれる数字の比率は（１０^n−９^n）／１０^n＝１−（９／１０）^nで表される．
したがって，１から１０までで１０％，１００までで１９％，１０００までで２７％，１００００までで３４％であるが，桁数が大きくなるほどｘが含まれる確率は高くなり，この後，急速に１００％に近づく．１０％でなく事実上ほとんどすべての数にｘが含まれているといえるのである．
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