カタラン数の一般項は

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／ｎ！（ｎ＋１）！，

　　Ｃn＝2n+1Ｃn／（２ｎ＋１）

あるいは

　　Ｃn＝2nＣn−2nＣn-1＝１，２，５，１４，４２，・・・

と表される．

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝（２ｎ）！／（ｎ！）^2（ｎ＋１）

に対して，スターリングの漸近公式

　　ｋ！＝√２π・ｋ^(k+1/2)・exp（−ｋ）＝√（２πｋ）・（ｋ／ｅ）^k

を適用すると，

　　Ｃn〜２^2n／√（ｎπ）（ｎ＋１）〜４^nｎ^(-3/2)／√π

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【１】１次元ランダムウォーク

　ここでは，対称単純ランダムウォークの場合の再帰性，すなわち，いつかは原点に戻る確率（再帰確率）について考察することにします．

　原点に戻るのはｔが偶数の時に限られるので，２ｎステップのとき，左右に同じ回数ｎずつ移動する確率は

　　ｕ2n＝2nＣnｐ^nｑ^n

で与えられます．特に，対称（ｐ＝ｑ＝１／２）のときは，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)

　また，粒子が時刻２ｎではじめて原点に復帰する確率は

　　ｆ2n＝ｕ2(n-1)／２ｎ

で与えられます．この確率はカタラン数

　　Ｃn＝2nＣn／（ｎ＋１）＝１，２，５，１４，４２，・・・

を用いて，

　　ｆ2n＝Ｃ(n-1)／２^(2(n-1))

と表されます．（カタラン数のはじめの４項１，２，５，１４は初項１から始まって前項を３倍して１を引いたものに一致しますが，５項目以降は異なっています．）

　再帰性を判定するのには，たとえば，粒子が出発した点にいる確率がｔ＝∞においても有限の値を示すときは再帰的，また，これは出発した点にいる確率をｔ＝０からｔ＝∞まで積算した量が無限大に発散するときは再帰的と定義できます．前者は強い意味の，後者は弱い意味の粒子の局在を表しています．すなわち，単純ランダムウォークが再帰的であるための必要十分条件は，

　　Σｕ2n＝∞

が成立することと考えられ，Σｕ2n＜∞のときは再帰しないとします．

　ここで，ウォリスの公式によって，

　　ｕ2n＝2nＣn／２^(2n)　〜　（πｎ）^(-1/2)

が示されます．また，ゼータ関数

　　ζ（ｋ）＝Σ１／ｎ^k

はｋ≦１のとき発散し，ｋ＞１のとき収束しますから，１次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であることがわかります．スターリングの公式を使っても同じ結果が得られます．

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【２】多次元ランダムウォーク（格子上の確率論）

　引き続いて，１次元格子の代わりに多次元直交格子上の対称単純ランダムウォークを考えてみましょう．時刻０で平面上の原点から出発し，単位時刻ごとに正方格子の上下左右の４つの隣接点に等確率１／４で移動していくのが２次元対称単純ランダムウォーク，立方格子の６つの隣接点に等確率１／６で移動していく粒子の運動が３次元対称単純ランダムウォークです．

　２次元対称単純ランダムウォークで，粒子が時刻２ｎに原点にいると確率は，４項分布において，それまで上下にそれぞれｋ回，左右にそれぞれｎ−ｋ回移動した確率ですから，ｉ＋ｊ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／４^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2

　　　　＝１／４^(2n)（2nＣn）^2

　　　　〜　（πｎ）^(-1)

　同様に，３次元対称単純ランダムウォークでは，６項分布において，ｉ＋ｊ＋ｋ＝ｎとして

　　ｕ2n＝１／６^(2n)Σ（２ｎ）！／（ｉ！）^2（ｊ！）^2（ｋ！）^2

　　　　＝2nＣn／２^(2n)Σ（ｎ！／３^nｉ！ｊ！ｋ！）^2

　　　　〜　Ｃ／ｎ^(3/2)

　すなわち，２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的であるのに対し，３次元対称単純ランダムウォークは非再帰的であるという結果が得られます．

　一般に，ｄ次元対称単純ランダムウォークでは，最近接の２ｄ個の点に等確率１／２ｄで移動し，ｎ→∞のとき

　　Σｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

　したがって，ｄ次元対称単純ランダムウォークは，確率１で出発点に戻れるだろうか？　という問いに対しては，ｎ→∞のとき

　　ｕ2n　〜　２^(1-d)ｄ^(d/2)（πｎ）^(-d/2)

ですから，

　ａ）ｄ≧３のときは非再帰的であって無限の彼方へいってしまう

　ｂ）ｄ＝１，２のときは再帰的である（すべての道はローマに通ず）

ということを意味しています．しかし，再帰的とはいっても，いつかは原点に帰るということであって，その戻るまでの時間の期待値は∞です．これを零再帰的と呼び，戻れるとはいっても戻りづらいことがわかります．

　すなわち，１次元・２次元の対称単純ランダムウォークは再帰的（必ず原点に戻ってくる）であるのに対し，３次元になると少し状況が変わってくる．３次元ランダムウォークの場合，たとえ無限に歩き続けたとしても，出発点に戻ってくる確率はおよそ０．３４にすぎない．３次元では進める方向が多すぎて，偶然に出発点に戻ってくるのはそう簡単なことではないのである．

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【３】特性関数を用いた再帰確率の計算

　　Durrett: Probability: theories and examples

にある結論だけ示しますと，ｄ次元超立方格子上のランダムウォークにおいては，

　　Σｕ2n＝（２π）^(-d)∫(-π,π)Re(1-φ(t))^(-1)dt

　　　　φ(t)：特性関数φ(t)

が成り立つというものです．

　とくに，３次元の場合は，

　　Σｕ2n

　＝（２π）^(-3)∫∫∫((-π,π)ｄｘｄｙｄｚ／（３−ｃｏｓｘ−ｃｏｓｙ−ｃｏｓｚ

　＝（２π）^(-3)∫(-π,π)（１−1/3Σｃｏｓt）^(-1)dt

　＝（√6/32π^3）Γ(1/24)Γ(5/24)Γ(7/24)Γ(11/24)

　＝１．５１６３８・・・

と評価され，したがって，

　　Σｆ2n＝（Σｕ2n−１）／Σｕ2n＝１−１／Σｕ2n

　　　　　＝０．３４０５３・・・

と計算できます．

　また，

　　Kondo and Hara (1987)

の文献からｄ次元格子上における酔歩の再帰確率ｐdを引用すると，

ｄ ｐd ｄ ｐd

1 1 13 .041919

2 1 14 .038657

3 .340537 15 .035869

4 .193201 16 .033458

5 .135178 17 .031352

6 .104715 18 .029496

7 .085844 19 .027848

8 .072912 20 .026375

9 .063447 30 .017257

10 .056197 40 .012827

11 .050455 100 .005050

12 .045789

　すなわち，３次元と４次元ランダムウォークの再帰確率は，正確には，

　　0.340537329550999...

　　0.193201673224984...

です．

　再帰確率はｄが大きいほど小さくなりますが，ｄが十分に大きいとき，第１種０次の変形ベッセル関数を使って，

　　Σｕ2n＝∫(0,∞)exp(-x){I0(x/d)}^ddx

　〜　1＋2!/2(2d)+3!/2(2d)^2+4!/2(2d)^3+5!/2(2d)^4+5*71/2(2d)^5+･･･

より，

　　ｐd　〜　1/(2d){1+1/d+7/(4d^2)+35/(8d^3)+215/(16d^4)}

で漸近近似されることがその論文には記されています．

　次元数ｄが大きければ原点の戻る確率は，およそ

　　ｐd　〜　１／（２ｄ）

ですが，

　　１／２（ｄ−１）＝1/(2d){1+1/d+1/(d^2)+･･･}

ですから，式

　　ｐd　〜　１／２（ｄ−１）

は簡単な割には漸近確率をよく近似し，

　　ｐd　〜　１／（２ｄ−１）　あるいは　ｐd　〜　１／（２ｄ）

よりも外挿した際の誤差が小さいことが理解されます．

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