インド生まれの数学者ラマヌジャンは，多くの公式や定理を発見し，神秘的な東洋の天才数学者とよばれていて，１日１つの割合で新しい公式または定理を発見したといわれています．
たとえば，コラム「シンク関数とゼータ関数（その２）」で紹介した，すべての素数をわたる無限積
Π（ｐ^2＋１）／（ｐ^2−１）＝５／３・１０／８・２６／２４・５０／４８・・・＝５／２
が成り立つというのもラマヌジャンの式です．
今回のコラムではランダウ・ラマヌジャン定数を紹介したいのですが，まずはその前に・・・
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【１】ラマヌジャンが編み出した数学上の技巧
数式と戯れる喜びを知っていたラマヌジャンは，平方根が入れ子状に無限に続く
√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））
の値を求めよという問題をインド数学会誌に投稿している．
［参］カニーゲル「無限の天才」工作舎，ｐ９０
しかし，この問題に対する読者からの解答は寄せられず，結局答えたのは出題者であるラマヌジャン本人であったとのことである．
ラマヌジャンのクイズの前に，もし，
√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））
の値はという問題であれば，
ｘ＝√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋ａ√（１＋・・・））））
とおくと，
√（１＋ａｘ）＝ｘ → ｘ^2−ａｘ−１＝０
より，
ｘ＝（ａ＋√（ａ^2＋４））／２
を得ることができる．
ａ＝１のとき，
√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ （黄金比）
ｋ＝√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋√（ｍ＋・・・））））
の場合は，２次方程式の解の公式を使えば，ｍ＝ｋ^2−ｋとすることができる．
√（２＋√（２＋√（２＋√（２＋・・・））））＝２
√（３０＋√（３０＋√（３０＋√（３０＋・・・））））＝６
２次方程式：ａｘ^2＋ｂｘ＋ｃ＝０の解の公式は次式で与えられる．
ｘ＝（−ｂ±√（ｂ^2−４ａｃ））／２ａ
根号の中の式を平方数の差とみれば２項に因数分解することができ，以下のようにも表現できる．
ｘ＝ｍ2／２ｍ1±｛（ｍ2＋２√ｍ1ｍ3）（ｍ2−２√ｍ1ｍ3）｝^1/2／２ｍ1
ラマヌジャンは中学時代に根号の中の式を書き換えて
ａ（ａ＋２）＝ａ√（ａ＋２）^2＝ａ√（１＋（ａ＋１）（ａ＋３））
＝ａ√（１＋（ａ＋１）√（１＋（ａ＋２）（ａ＋３））＝・・・
を発見した．ここでａ＝１とすると求める値が３であることがわかる．
ラマヌジャンはさらにより一般的な恒等式
ｘ＋ｎ＋ａ＝√（ａｘ＋（ｎ＋ａ）^2＋ｘ√（ａ（ｎ＋ｘ）＋（ｎ＋ａ）^2＋（ｘ＋ｎ）√・・・）））
を発見している．
ラマヌジャンのクイズは，ここでｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝０とした場合である．
√（１＋２√（１＋３√（１＋４√（１＋・・・））））＝３
また，ｘ＝２，ｎ＝１，ａ＝１とすると
√（６＋２√（７＋３√（８＋４√（９＋・・・））））＝４
になることがわかる．
√（１−√（１−１／２√（１−１／４√（１−１／８√１−・・・））））＝１／２
3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋3√（−６＋・・・））））＝−２
もラマヌジャンの式である．
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【２】ランダウ・ラマヌジャン定数
ガウスは，π（ｘ）をｘ以下の素数の個数とすると，
π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ （ｘ→∞）
が成り立つだろうと予想しました．この予想はリーマンの研究を経て，１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンによって証明されました．これを素数定理といいます．
コラム「素数もいろいろ，素数定理もいろいろ」で述べたことですが，
［１］双子素数の分布に関しては，ハーディとリトルウッドによって，
πtwin（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ）^2〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^2
ただし，ｐを３以上の素数として
Ｃ＝２Π（１−１／（ｐ−１）^2）＝１．３２０３・・・
と予想されています．
［２］１０を原始根とする素数，たとえば，
７，１７，１９，２３，２９，４７，５９，６１，９７，・・・
の密度について，アルティンは
π10（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想しています．
ただし，ｐを素数として，Ｃは
Ｃ＝Π（１−１／ｐ（ｐ−１））＝０．３７３９５・・・（アルティンの定数）
［３］ｎ^2＋１型素数
πq（ｘ）〜Ｃ∫(2,x)ｄｔ／（ｌｏｇｔ・√ｔ）〜Ｃ√ｘ／（ｌｏｇｘ）
と予想できます．ハーディとリトルウッドはＣの値も決定しています．
Ｃ＝Π（１−χ（ｐ）／（ｐ−１））
ｎ^2＋１＝０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝１
ｎ^2＋１≠０ （ｍｏｄｐ）→ χ（ｐ）＝−１
Ｃ＝Π（１−（−１）^(p-1)/2／（ｐ−１））＝１．３７２７・・・
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すべての整数は４つ以下の平方数の和として表現することができます（ラグランジュの定理，１７７０年）．素数とは関係はないのですが，２つの平方数の和として表現できるｘ以下の整数の個数をｎ（ｘ）とすると，ランダウとラマヌジャンはそれぞれ独自に
ｎ（ｘ）〜Ｃｘ／（ｌｏｇｘ）^1/2 （ｘ→∞）
Ｃ＝｛１／２Π（１／１−ｐ^-2）｝^1/2＝０．７６４２２３６５３・・・
ｐは４ｎ＋３型素数をわたる
が成り立つことを証明しました．
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