連続するｋ個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）

がｋ！で割り切れることは

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！

が整数であることがいえればよいのであるが，

　　ｎ（ｎ−１）・・・（ｎ−ｋ＋１）／ｋ！＝nＣk　　（２項係数）

すなわち，組み合わせの総数＝整数であるから明らかであろう．

　連続する４個の自然数の積

　　ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）

は４！＝２４で割り切れるのである．

　　ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４＝nＣ4

　ところで，インド生まれの数学者ラマヌジャンは，多くの公式や定理を発見し，神秘的な東洋の天才数学者とよばれていて，１日１つの割合で新しい公式または定理を発見したといわれています．ラマヌジャンは，素数と同じくらい風変わりな数として高次合成数の性質について探求しています．合成数とは素数でない数のことで，高次合成数とは２４のように１，２，３，４，６，８，１２，２４と多くの約数をもつ数のことです．

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［１］円周上に等間隔に配置されたｎ点から，２点を選ぶ組み合わせ数：nＣ2＝ｎ（ｎ−１）／２は正ｎ角形の辺と対角線の総数となる．３点を選ぶ組み合わせ数：nＣ3＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）／６は三角形の総数となる．それでは，ｎが奇数のとき，ｎ点から４点を選ぶ組み合わせ数：nＣ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４は？

　正ｎ角形の対角線の交点数（ｎが奇数のとき，３つの弦が１点で交わることはない）

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［２］nＣ4＝ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）／２４＞２０１１となる最小のｎを求めよ．

　ｎ＝１７が答えであるが，やみくもにｎを見積もるのではなく，たとえば，

　　ｎ^4あるいは（ｎ−１．５）^4＞ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）

　　（ｎ−１．５）^4＞２４・２０１１≒５・１０^4

　　（ｎ−１．５）^2＞√５・１０^2

　　（ｎ−１．５）＞√√５・１０，　　ｎ＞１６．５

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［３］ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）は平方数になり得ないことを証明せよ．

　　ｎ（ｎ−１）（ｎ−２）（ｎ−３）

　＝ｎ（ｎ−３）（ｎ−１）（ｎ−２）＝（ｎ^2−３ｎ）（ｎ^2−３ｎ＋２）

　＝（ｎ^2−３ｎ＋１−１）（ｎ^2−３ｎ＋１＋１）

　＝（ｎ^2−３ｎ＋１）^2−１

すなわち，平方数より１小さいことが示されたことになる．

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　ところで，ｘ^4＋４を実数係数をもつ多項式に因数分解する問題は，実数という条件がなければ

　　ｘ^4＋４＝（ｘ^2＋２ｉ）（ｘ^2−２ｉ）

となるが，完全平方にすると

　　ｘ^4＋４＝ｘ^4＋４ｘ^2＋４−４ｘ^2＝（ｘ^2＋２ｘ＋２）（ｘ^2−２ｘ＋２）

となる．

　次に述べることも

　　一松信「数学とコンピュータ」共立出版

を読んで知ったことであるが，是非ここで紹介（受け売り）しておきたい．

　中学校の課題研究の際，Mathematicaに「ｘ^4＋１を因数分解せよ」と入力しても「因数分解できません」と返ってきた．ｘ^4＋２，ｘ^4＋３も同様である．ところが，ｘ^4＋４に対しては

　　ｘ^4＋４＝（ｘ^2＋２ｘ＋２）（ｘ^2−２ｘ＋２）

という結果が返ってきて驚かされた．さらに，ｘ^4＋５，ｘ^4＋９，ｘ^4＋１６，ｘ^4＋２５，・・・と試みても「因数分解できません」という結果であったが，根気強く続けて，ｘ^4＋６４では

　　ｘ^4＋６４＝（ｘ^2＋４ｘ＋８）（ｘ^2−４ｘ＋８）

とうまくいった．

　よくよく理由を考えてみると，一般式

　　（ｘ^2＋ｃ）^2−（ｂｘ）^2＝ｘ^4＋（２ｃ−ｂ^2）ｘ^2＋ｃ^2

　＝（ｘ^2＋ｂｘ＋ｃ）（ｘ^2−ｂｘ＋ｃ）

において，２ｃ＝ｂ^2の特別な場合になっていること．また，この変形はあまりに技巧的で高校数学のカリキュラムからも消えているのだが，それを数式処理システムを使って発見的に得ることができたことなど，数式処理システムの効用についてのエピソードであるが，数式処理システムが数学研究のみならず，数学教育にも有効と考えられる所以である．

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