平行多面体とは，平行移動するだけで３次元空間を埋めつくすことのできる単独の多面体であって，３次元格子から決まる本質的なボロノイ領域は，ロシアの結晶学者フェドロフの見つけた５種類の平行多面体−−立方体（平行６面体を含む），６角柱，菱形１２面体，長菱形１２面体（６角形４枚と菱形８枚の２種類で作る１２面体），切頂８面体−−しかありません．

　６角柱，菱形１２面体は４次元立方体，長菱形１２面体は５次元立方体，切頂８面体は６次元立方体を３次元空間に投影したものと一致しています．これら５種類の図形は５種類の正多面体（プラトン立体）ほどよく知られていないのですが，少なくとも同じ程度に重要であると考えられます．

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【１】ゾーン多面体の構成

　切頂八面体からあるゾーンを抜くと，長菱形二十面体→菱形十二面体，六角柱→立方体になるので，これらは一連のゾーン多面体と考えることができます．立方体のすべての稜は３方向，菱形十二面体，六角柱では４方向，長菱形十二面体では５方向，切頂八面体では６方向を向くことになります．

　一般にｎ次元平行多面体ではｎ方向〜ｎ（ｎ＋１）／２方向を向くことになるのですが，それに伴って胞数は２ｎ〜２（２^n−１），頂点数は２^n〜（ｎ＋１）！という構成になっています．

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【２】正定値２次形式

　原点を中心とする２次元楕円は，

　　ａｘ^2 ＋ｂｘｙ＋ｃｙ^2＝１

あるいは，行列・ベクトル表現すると

　　［ｘ，ｙ］［ａ，ｂ／２］［ｘ］＝１

　　　　　　　［ｂ／２，ｃ］［ｙ］

と書けます．左辺のような形の式を２次形式といい，すべての実数ｘ，ｙに対して正となるためには，

　　ａ＞０，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃ＜０

が成り立たなくてはなりません．

　よく知られているように，Ｄ＝ｂ^2−４ａｃは２次方程式ａｘ^2 ＋ｂｘ＋ｃ＝０の判別式であり，行列式

　　｜ａ，ｂ／２｜＝ｂ^2／４−ａｃ

　　｜ｂ／２，ｃ｜

と関係しています．

　一般に，原点を中心とする２次超曲面

　　Σｈijｘiｘj＝１　　　（ｈij＝ｈji）

が，ｎ次元楕円であるための条件は，左辺の２次形式がすべての実数ｘ1，・・・，ｘnに対して正定値（positive definitive）であること，すなわち，ｎ×ｎ行列：Ｈ＝｛ｈij｝が正定値の行列であることです．

　そのための必要十分条件は，ｋ行・ｋ列までを取り出して得られる小行列式｜Ｈk｜を

　　　　　　　｜ｈ11・・・ｈ1k｜

　　｜Ｈk ｜＝｜・・・・・・・｜

　　　　　　　｜ｈk1・・・ｈkk｜

として

　　｜Ｈ1｜＝ｈ11＞０，｜Ｈ2｜＝｜ｈ11　ｈ12｜＞０，・・・，

　　　　　　　　　　　　　　　　｜ｈ21　ｈ22｜

　　｜Ｈn｜＝｜Ｈ｜＞０

となることです．

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