【１】パウリ行列
（その１）で述べたことにより，行列を使うと因数分解ができるようになる可能性が開けてきます．円に相当するｘ^2＋ｙ^2ができたわけですから，球に相当するｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2も分解してみたい・・・．そして実際に，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2
の因数分解を可能にするのが「パウリ行列」です．
パウリ行列は
σx＝［０，１］ σy＝［０，−ｉ］ σz＝［１， ０］
［１，０］ ［ｉ， ０］ ［０，−１］
の３組の２×２行列で与えられるのですが，いずれも２乗すると単位行列になります．
σx^2＝Ｅ，σy^2＝Ｅ，σz^2＝Ｅ
また，行列のかけ算は非可換なのですが，パウリ行列では，
σxσy＝ｉσz，σyσx＝−ｉσz
のように符号が逆となり，
σxσy＋σyσx＝Ｏ（ゼロ行列）
σxσy−σyσx＝２ｉσz
のような関係が成立します．
ここで，行列
ｘσx＋ｙσy＋ｚσz＝［ ｚ，ｘ−ｙｉ］
［ｘ＋ｙｉ， −ｚ］
を考え，この行列を２乗してみます．すると，
（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2，０］
［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2］
＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ
結局，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅという行列は，（ｘσx＋ｙσy＋ｚσz）^2に分解できたことになります．４元数を使わないとできなかった因数分解が，行列を利用すると分解できるトリックは，行列の成分として虚数単位を含んでいるうえに，行列自体にも虚数の働きがあり，普通の数にはない機能を２重に使っているからと考えられます．
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【２】ディラック行列
パウリの行列において
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝ｒ^2
は３次元空間での球に相当するわけですが，歴史的にはパウリが基本粒子のスピンを数学的に表現するために考案したものです．この考えがヒントになって，ディラックが４次元時空における時間の項を加えた
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2
を因数分解するために「ディラック行列」を使いました．
αx＝［０，０，０，１］ αy＝［０， ０，０，−ｉ］
［０，０，１，０］ ［０， ０，ｉ， ０］
［０，１，０，０］ ［０，−ｉ，０， ０］
［１，０，０，０］ ［ｉ， ０，０， ０］
αz＝［０， ０，１， ０］ β＝［１，０， ０， ０］
［０， ０，０，−１］ ［０，１， ０， ０］
［１， ０，０， ０］ ［０，０，−１， ０］
［０，−１，０， ０］ ［０，０， ０，−１］
これらの４組の２×２行列をディラック行列と呼ぶのですが，前項と同様に，
ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ
＝［ ｔ， ０， ｚ， ｘ−ｙｉ］
［ ０， ｔ， ｘ＋ｙｉ，−ｚ ］
［ ｚ， ｘ−ｙｉ，−ｔ， ０ ］
［ｘ＋ｙｉ，−ｚ ，０， −ｔ ］
（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2
＝［ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０，０］
［０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０，０］
［０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2，０］
［０，０，０，ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2］
＝（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅ
という関係が確かめられます．これで，（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｔ^2）Ｅという行列は，（ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ）^2に分解できることがわかりました．
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ちなみに，ディラック行列をパウリ行列で表現すると，
αx＝［０，σx］ αy＝［０，σy］ αz＝［０，σz］
［σx，０］ ［σy，０］ ［σz，０］
β＝［Ｅ， ０］
［０，−Ｅ］
ｘαx＋ｙαy＋ｚαz＋ｔβ＝［ｔＥ， ｘσx＋ｙσy＋ｚσz］
［ｘσx＋ｙσy＋ｚσz，−ｔＥ］
と表すことができます．
このことから
αx^2＝Ｅ，αy^2＝Ｅ，αz^2＝Ｅ，β^2＝Ｅ
αxαy＋αyαx＝Ｏ（ゼロ行列）
αxαy−αyαx＝２ｉ［σz，０］
［０，σz］
αxβ＋βαx＝Ｏ（ゼロ行列）
αxβ−βαx＝２［０，−σx］
［σx， ０］
と計算されます．ディラック行列がパウリ行列に一工夫加えた様子を窺い知ることができるでしょう．
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【３】４元数と行列
積の交換法則が成り立たない代数として「行列」があります．
Ｅ＝［１，０］ Ｊ＝［０，−１］ Ｊ^2＝−Ｅ
［０，１］ ［１， ０］
とおけば，
Ａ＝［ａ1，−ａ2］
［ａ2， ａ1］
は
Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ
と表されます．
Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2Ｊ，Ｂ＝ｂ1Ｅ＋ｂ2Ｊ
の形の行列全体は加法および乗法に関して閉じています．
Ａ＋Ｂ＝（ａ1＋ｂ1）Ｅ＋（ａ2＋ｂ2）Ｊ
ＡＢ＝（ａ1ｂ1−ａ2ｂ2）Ｅ＋（ａ1ｂ2＋ａ2ｂ1）Ｊ
乗法の可換性は成立しません．すなわち，【１】節では行列による表現を利用して複素数を導入したわけですが，類似の方法で４元数を行列の中に実現させる方法もあります．
Ｅ＝［１，０，０，０］
［０，１，０，０］
［０，０，１，０］
［０，０，０，１］
ｉ＝［０，−１，０， ０］ ｊ＝［０， ０，−１，０］
［１， ０，０， ０］ ［０， ０， ０，１］
［０， ０，０，−１］ ［１， ０， ０，０］
［０， ０，１， ０］ ［０，−１， ０，０］
ｋ＝［０，０， ０，−１］ Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］
［０，０，−１， ０］ ［ａ2， ａ1，−ａ4， ａ3］
［０，１， ０， ０］ ［ａ3， ａ4， ａ1，−ａ2］
［１，０， ０， ０］ ［ａ4，−ａ3， ａ2， ａ1］
とおけば
Ａ＝ａ1Ｅ＋ａ2ｉ＋ａ3ｊ＋ａ4ｋ
と書くことができます．
この体系では，４元数同様，
ｉ^2＝−Ｅ，ｊ^2＝−Ｅ，ｋ^2＝−Ｅ，
ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，
ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ
なる性質をもっていて，加法および乗法に関して閉じています．また，乗法の可換性は成立しません．
この体系を用いると，
（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2）Ｅ＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2
（ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2）Ｅ＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）
のように，虚数単位ｉを陽に用いることなしに２つの行列の積に分解できますが，それでは４元数そのままであって，虚数単位ｉを使ったパウリ行列やディラック行列よりも面白味に欠けるかもしれません．
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行列ｊを変更して
ｉ＝［０，−１，０， ０］ ｊ＝［０，０，−１， ０］
［１， ０，０， ０］ ［０，０， ０，−１］
［０， ０，０，−１］ ［１，０， ０， ０］
［０， ０，１， ０］ ［０，１， ０， ０］
ｋ＝［０，０， ０，−１］ Ａ＝［ａ1，−ａ2，−ａ3，−ａ4］
［０，０，−１， ０］ ［ａ2， ａ1，−ａ4，−ａ3］
［０，１， ０， ０］ ［ａ3， ａ4， ａ1，−ａ2］
［１，０， ０， ０］ ［ａ4， ａ3， ａ2， ａ1］
とおくと，Ａの上三角部分，下三角部分が歪対称（ｇij＝−ｇji）になるので，形がスッキリすると思われます．
ところが，実際にやってみると
ｊ^2＝−１
は成り立つものの
ｉｊ＝ｋ，ｊｋ＝ｉ，ｋｉ＝ｊ，
ｊｉ＝−ｋ，ｋｊ＝−ｉ，ｉｋ＝−ｊ
が成立しません．なかなかうまくはいかないものです．
なお，８元数：
ｉ^2＝ｊ^2＝ｋ^2＝ｌ^2＝ｍ^2＝ｎ^2＝ｏ^2＝−１，
ｉ＝ｊｋ＝ｌｍ＝ｏｎ＝−ｋｊ＝−ｍｌ＝−ｎｏ，
ｊ＝ｋｉ＝ｌｎ＝ｍｏ＝−ｉｋ＝−ｎｌ＝−ｏｍ，
ｋ＝ｉｊ＝ｌｏ＝ｎｍ＝−ｊｉ＝−ｏｌ＝−ｍｎ，
ｌ＝ｍｉ＝ｎｊ＝ｏｋ＝−ｉｍ＝−ｊｎ＝−ｋｏ，
ｍ＝ｉｌ＝ｏｊ＝ｋｎ＝−ｌｉ＝−ｊｏ＝−ｎｋ，
ｎ＝ｊｌ＝ｉｏ＝ｍｋ＝−ｌｊ＝−ｏｉ＝−ｋｍ，
ｏ＝ｎｉ＝ｊｍ＝ｋｌ＝−ｉｎ＝−ｍｊ＝−ｌｋ
では，乗法の結合法則も破れていて（ａ（ｂｃ）≠（ａｂ）ｃ），積の交換法則も結合法則も成り立ちませんが，それでも分配法則は成り立っています．行列は結合法則を満たすので，８元数は行列の一部とはみなせないのです．なお，結合法則が成り立たない数の体系（非結合的な体）としては，８元数，リー代数，ジョルダン代数の３つが代表的です．
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