ｘ^2＋ｙ^2
を実数の世界で因数分解することはできませんが，複素数を使うと
ｘ^2＋ｙ^2＝（ｘ＋ｙｉ）（ｘ−ｙｉ）
のように因数分解できます．また，
ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2−ａｂ−ｂｃ−ｃａ
は，ω（１の虚立方根）＝（ｉ√３−１）／２を用いると
（ａ＋ｂω＋ｃω^2）（ａ＋ｂω^2＋ｃω）
と書くことができます．
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2
は複素数の助けを借りても因数分解できませんが，４元数を用いると，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2＝（ｘ＋ｙｉ＋ｚｊ＋ｗｋ）（ｘ−ｙｉ−ｚｊ−ｗｋ）
ですから，
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝−（ｘｉ＋ｙｊ＋ｚｋ）^2
のように因数分解できます．
このシリーズのネタは複素数を使っても因数分解できなかった
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2
ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＋ｗ^2
をトリックを用いて分解する方法を紹介したいと思います．
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【１】複素数と行列
平面の回転行列は
［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］
［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］
の形に書けます．
ある複素数に虚数単位ｉをかけると
ｚｉ＝（ｘ＋ｙｉ）ｉ＝−ｙ＋ｘｉ
となり，この操作は９０°回転に対応することがわかります．そこで，回転行列にθ＝π／２を代入すると
Ｊ＝［０，−１］
［１， ０］
となります．
複素数平面でｉが果たす役割と行列Ｊが果たす役割は等しいのですが，実際にこの行列を２乗すると
Ｊ^2＝［１，０］＝−Ｅ
［０，１］
となって，虚数のもっている性質を備えていることがわかります．
「Ｅ→１，Ｊ→ｉと置き換える」ことを踏まえると，複素数に対応した行列を導入することができます．
Ｚ＝ｘＥ＋ｙＪ＝［ｘ，−ｙ］
［ｙ， ｘ］
ここで，
Ｅ＝［１，０］ Ｊ＝［０，−１］
［０，１］ ［１， ０］
Ｚ’＝ｘＥ−ｙＪ＝［ ｘ，ｙ］
［−ｙ，ｘ］
Ｚ・Ｚ’＝［ｘ^2＋ｙ^2，０］＝（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅ
［０，ｘ^2＋ｙ^2］
ですから，（ｘ^2＋ｙ^2）Ｅという行列が（虚数単位ｉを陽に用いることなしに）行列Ｚと行列Ｚ’の積に分解できたことになります．
また，オイラーの公式
ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
を行列で表現すると
ｅｘｐ（Ｊθ）＝（ｃｏｓθ）Ｅ＋（ｓｉｎθ）Ｊ
＝［ｃｏｓθ，−ｓｉｎθ］
［ｓｉｎθ， ｃｏｓθ］
となって，確かに回転行列になっていることがわかります．
［問］２次の正方行列でＸ^2＝−Ｅを満たすものは，複素数の範囲では
［ｉ，０］
［０，ｉ］
などがある．実数の範囲でも解は無数にある．その解をすべて求めよ．
［補］Ｅ，Ｊはそれぞれ対称行列（Ｂ’＝Ｂ），交代行列（Ｂ’＝−Ｂ）になっています．任意のｎ次正方行列Ａに対して，
Ｂ＝（Ａ＋Ａ’）／２，Ｃ＝（Ａ−Ａ’）／２
とおけば，Ｂは対称行列，Ｃは交代行列であって，
Ａ＝Ｂ＋Ｃ
のような分解は一意で与えられます．
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【２】ｉのｉ乗
オイラーの定理：
ｅｘｐ（ｉθ）＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
において，θ＝πを代入すると，ｅｘｐ（ｉπ）＝−１という有名な式が得られる．
一方，ｉ^2＝−１であるから
ｅｘｐ（ｉπ）＝ｉ^2
両辺をθ／π乗すると
ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
が成り立つ．
θ＝π／２のとき，ｉ＝ｉ
θ＝π／４のとき，ｉ^(1/2)＝（１＋ｉ）／√２
θ＝π／６のとき，ｉ^(1/3)＝（√３＋ｉ）／２
ｉの実数乗は回転作用を表すことがわかる．
さらに，両辺をｉ乗すると
ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ）^i＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ
が成り立つ．
θ＝π／２のとき，ｉ^i＝ｅｘｐ（−π／２）
θ＝π／４のとき，ｉ^(i/2)＝ｅｘｐ（−π／４）
θ＝π／６のとき，ｉ^(i/3)＝ｅｘｐ（−π／６）
ｉの虚数乗は実数になることがわかるが，これは原点からの距離（ノルム）の増減作用を表していると考えられる．
また，
ｅｘｐ（−θ）＝ｉ^(2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ＋ｉｓｉｎｉθ
ｅｘｐ（θ）＝ｉ^(-2iθ/π)＝ｃｏｓｉθ−ｉｓｉｎｉθ
に，θ＝１を代入すると
１／ｅ＝ｃｏｓｉ＋ｉｓｉｎｉ
ｅ＝ｃｏｓｉ−ｉｓｉｎｉ
ｃｏｓｉ＝（ｅ＋１／ｅ）／２
ｓｉｎｉ＝（ｅ−１／ｅ）／２ｉ
となる．
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【３】ＪのＪ乗
複素平面上における回転作用素は
ｅｘｐ（ｉθ）＝ｉ^(2θ/π)＝ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ
と表せるので，実平面上における回転作用素は
Ｊ^(2θ/π)＝Ｅｃｏｓθ＋Ｊｓｉｎθ
と表せる．
たとえば，θ＝π／６のとき，
Ｊ^1/3＝Ｅｃｏｓπ／３＋Ｊｓｉｎπ／３＝√３／２Ｅ＋１／２Ｊ
＝［√３／２，−１／２］
［１／２，√３／２］
実際，両辺を３乗すると
Ｊ＝［０，−１］
［１， ０］
となることがわかる．実平面上における回転作用素は実数の行列なのである．
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