３次元の正多面体元素定理で本質的な役割を果たしたのはＲＴ（trirectangular tetrahedoron）であったが，４次元の場合，ＲＰ１６個で正１６胞体，ＲＰ２４個で正８胞体，ＲＰ１９２個で正２４胞体を組み立てることができるから，ＲＰ（right penta）は４次元正多面体の元素のひとつとなる．

　また，平行多面体元素定理の本質はもうひとつの直角三角錐であるquadrirectangular tetrahedoronにある．その切半超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２が直線ｐiｐjと交差するための条件を求めてみる．この超平面は切頂面であって，ｎ＝３として，８頂点まわりをすべて切頂すると実際に切頂八面体が得られる．

　そこで（その２８）で予想をたてた．４次元の場合，ｎ＝４とするとｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域はちょうどＲＰとなる．４次元立方体の奇頂点を中心として８個のＲＰを切り落とせば芯に正１６胞体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えれば４次元切頂八面体（３０胞体）が得られるものと予想される．本当だろうか？

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【１】予想は外れるためにある

　ｎ＝４とするとｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域はちょうどＲＰとなる．４次元立方体の奇頂点を中心として８個のＲＰを切り落とせば芯に正１６胞体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えればどうなるのだろうか？

　３次元の場合，３次元立方体の奇頂点を中心として４個のＲＴを切り落とせば芯に正四面体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えれば，それは正四面体の辺の中点を通ることから，立方体の双対である正八面体が得られる．ｎ＝４の場合のすべての頂点から１６個のＲＰを取り除く操作によって，正１６胞体の２４本の辺の中点を通ることから，正２４胞体が得られるのである．

　（±１，±１，±１）を頂点とする立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ＝３／２で表される８枚の平面で切った残りは，頂点の座標（±１，±１／２，０）の±のすべての組み合わせとすべての置換，合計２４個を計算してみると，正確に切頂八面体になることがわかる．（±１，±１，±１，±１）を頂点とする４次元超立方体を，±ｘ±ｙ±ｚ±ｗ＝２で表される１６枚の超平面で切った残りは，正２４胞体になるのである．

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【２】誤解は正すためにある

　私自身も誤解していましたが，４次元の正１６胞体は平行多面体ではありません．空間充填形ではありますが，そのためには平行移動したものだけでは済まず，回転させた位置のもの−−軸でいえば［１０００］軸でなく［１１１１］軸のもの−−が不可欠です．正８胞体，正２４胞体は平行多面体です．

　また，ＲＰ（立方体の端欠）と超立方体の基本単体とはよく似ていますが，３次元以上では本質的に別の立体です．４次元の場合は特に二胞角が直角の有理数倍ですが，胞（３次元多面体）の二面角は必ずしも有理比ではなく，両者は分解合同ではないようです．したがって，基本単体あるいはその切半体からＲＰを組み立てることが不可能です．

　　　　　ＲＰ（正多胞体の元素）　基本単体の切半体（平行多胞体の元素）

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正８胞体　　　　　２４　　　　　　　　　　　７６８

正１６胞体　　　　１６　　　　　　　　　　　　−

正２４胞体　　　　１９２　　　　　　　　　　３８４

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