３次元空間を埋め尽くす正多面体は立方体のみである．５次元以上の空間でもｎ次元立方体のみが空間充填図形となるのに対して，４次元空間の充填図形は多彩で正８胞体，正１６胞体，正２４胞体の３種類ある．４次元の正１６胞体は空間充填形ではあるが，平行多面体ではない．正８胞体，正２４胞体は平行多面体である．

　また，ＲＰ１６個で正１６胞体，ＲＰ２４個で正８胞体，ＲＰ１９２個で正２４胞体を組み立てることができるから，ＲＰ（right penta）は４次元正多面体・平行多面体の元素のひとつとなる．また，（その２８）で行った検討より，正８胞体の基本単体の半切体は正２４胞体と関係していることが明らかになっている．

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【１】ｎ次元立方体の切頂

　超平面ｘ1＋・・・＋ｘn＝ｎ／２が直線ｐiｐjと交差するための条件を求めてみる．この超平面は切頂面であって，ｎ＝３として，８頂点まわりをすべて切頂すると実際に切頂八面体が得られる．

　ｎ＝４とするとｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域はちょうどＲＰとなる．４次元立方体の奇頂点を中心として８個のＲＰを切り落とせば芯に正１６胞体が残るが，偶頂点にも同じ操作を加えればどうなるのだろうか？　３次元の場合は立方体の双対である正八面体が得られるのであるが，ｎ＝４の場合のすべての頂点からＲＰを取り除く操作によって，４次元切頂八面体（３０胞体）が得られるものと予想される．この予想ははたして正しいであろうか？

　ｎ＝５とするとｘ1＋・・・＋ｘn≦ｎ／２の領域は超立方体の頂点を超えてしまうが，２^nの頂点すべてに対して切頂操作を加えれば５次元切頂八面体（６２胞体）が得られるものと予想される．

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【２】正２４胞体の基本単体

　体心を（０，０，０）とする菱形１２面体の４頂点を

　　（０，０，２），（±１，１，１），（０，２，０）

にとることができる．同様に，体心を（０，０，０，０）とする正２４胞体の８頂点を

　　（０，０，０，２），（±１，±１，１，１），（０，０，２，０）

にとることができる．菱形１２面体の場合と違って，この８頂点は体心から等距離にある．辺心を（１／２，１／２，１／２，３／２），面心を（０，２／３，２／３，４／３），胞心を（０，０，１，１）にとることができる．

　胞心と各頂点を結ぶベクトルは

　　（０，０，−１，１）（±１，±１，０，０），（０，０，１，−１）

であって，これらは互いに直交し，長さはすべて等しく√２となる．また，体心と胞心を結ぶベクトル（０，０，１，１）もこれらと互いに直交し長さも√２である．なお，正２４胞体の基本単体数は４８×２４＝１１５２となる．

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【３】準正多胞体によるｎ次元空間充填

　準正多胞体による４次元空間充填には

［１］３次元の六角柱とケルビン立体を組み合わせたケルビン立体の４次元版である正５胞体系（１１１１）

［２］３次元の立方体とケルビン立体を組み合わせた正１６胞体・８胞体系（１１１０）

があるとのこと．どちらも空間充填図形ながら両者は異なる多胞体である．ただし，３次元の場合のみ同じ切頂八面体を回転させた形状になる．すなわち，両者は３次元の場合は一致するが，４次元以上の場合は一致しない．

　前者は単独空間充填図形となる原始的平行多面体である．一方，後者は「正八面体を胞とする正２４胞体」の切頂型と一致するところから，まさにｎ次元切頂八面体というべきものである．後者でもってｎ次元空間を充填させるためには，ｎ次元の立方体を混在させなければならないので，ここに４次元図形がもっている３次元人用の落とし穴か見られるというわけである．

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【４】雑感

　ドローネーによると，４次元の場合，胞数が最大の３０であるものが３つ

　　　Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8

　　　Ｐ30＝４Ｐ14＋６Ｐ12＋１２Ｐ10＋２Ｐ8＋６Ｐ6

　　　Ｐ30＝１８Ｐ12＋６Ｐ8＋６Ｐ6

あるが，たとえば，Ｐ30＝１０Ｐ14＋２０Ｐ8は３次元の六角柱Ｐ8と切頂八面体Ｐ14を組み合わせた３０胞体で，４次元空間の１種類だけの多胞体による空間充填図形である．これは［１］に相当するが，［２］に相当するのはどれなのだろうか？

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